Криволинейное движение (равномерное движение по окружности)

a) б) в) г) д)

–линейная скорость, в каждой точке направлена по касательной к окружности –центростремительное ускорение, в каждой точке направлено по радиусу к центру окружности –радиус окружности –период обращения по окружности –частота обращения –угловая скорость - угол поворота точки по окружности за промежуток времени

4. Закон сложения скоростей в классической механике.

С.О. – система отсчёта;

– скорость движения тела относительно С.О. «К₁»;

– скорость движения тела относительно С.О. «К₂»;

­– скорость движения С.О. «К₁» относительно

Примеры решения задач

1. Из начальной точки с координатами тело прошло некоторый путь, так что проекция его перемещения на ось оказалась равной 4м, а на ось – 3м. Найдите координаты конечного положения точки. Начертите вектор перемещения. Чему равен его модуль?

Дано: Решение:

1. Зная, что и , находим:

2. Построим вектор перемещения

4 2

3

1

1

0 1 2 3 4 5 6 7 (м)

Начальная точка «1» с координатами 3м и 1м, конечная точка перемещения «2» с координатами 7м и 4м. Вектор, проведённый из начальной точки в конечную точку, есть вектор перемещения

3. Модуль вектора перемещения находим из прямоугольного треугольника по теореме Пифагора:

=

2. Вертолёт, пролетев по прямой 20 км, повернул под углом 90˚ и пролетел ещё 15 км. Найти путь и перемещение вертолёта.

Дано: Решение:

1. Пройденный путь – длина траектории,

2. Результирующее перемещение найдём,

складывая векторы по правилу треугольника:

3. Модуль вектора перемещения найдём

из прямоугольного треугольника

по теореме Пифагора: ;

4. Найдём, под каким углом к первоначальному перемещению совершено результирующее перемещение. Из треугольника видно, что

Ответ: вертолёт переместился на 25 км под углом 37˚ к первоначальному направлению, пройдя путь 35 км.

3. Точка движется равномерно и прямолинейно противоположно положительному направлению оси Ox. В начальный момент времени точка имела координату x₀ = 12м. Найдите координату точки спустя 6 с от начала отсчёта времени, если модуль её скорости равен v = 3 м/с. Чему равен путь, пройденный точкой за это время.

Дано: x0 = 12 м V = 3 м/с t= 6c

Решение: т.к. , то координату найдём по уравнению   по уравнению найдём проекцию перемещения Пройденный путь S = 18 м Ответ: x = –6 м; S = 18 м.

4. Движения двух велосипедистов заданы уравнениями: , . Построить графики зависимости x(t). Найти время и место встречи.

Дано:

Решение: 1.Определяем пару точек для построения графиков обоих тел. I велосипедист:

x	T

II велосипедист:

x	T

2. По точкам строим графики:

Место встречи – это точка, в которой координаты тел одинаковы. Находим точку пересечения графиков. Опуская перпендикуляр из этой точки на ось X, находим место встречи x = 50 м. Опуская из этой точки перпендикуляр на ось t, находим время встречи t = 10 с.

(графики)

5. По заданным графикам найти начальные координаты тел и проекции скорости их движения. Написать уравнения движения тел x = x(t). Из графиков и уравнений найти время и место встречи тел, движения которых описываются графиками II и III.

Решение:

1. В общем виде уравнение движения: .

I тело: м. По графику видно, что его координата со временем не изменяется,тело не движется.

; уравнение движения x = 5.

II тело: По графику определяем

м

с; м

с; м/с

уравнение движения:

III тело: По графику находим:

м

с; ;

с

м/с

уравнение движения:

2. Определяем точку пересечения графиков II и III тел.

Координаты этой точки x = –5 м место встречи, t = 10 c время встречи.

3. Используя уравнения

, находим время встречи t:

т.к. во время встречи, то

с.

Подставляя время в одно из уравнений, находим место встречи:

м или м.

6. Тело движется вдоль координатной оси. В начальный момент времени направление скорости тела совпадало с направлением оси. Модуль скорости тела м/с. Найдите скорость тела через 5 с и 7 с от начала отсчёта времени, если ускорение направлено противоположно начальной скорости и его модуль м/с².

Дано: м/с с с м/с^2	Решение: Т.к. , то . , ; Используем уравнение скорости для равноускоренного прямолинейного движения м/с м/с Ответ: через 5 с скорость уменьшится до 0, тело остановится и далее начнёт двигаться в противоположную сторону, через 7 с скорость станет равной 8 м/с и направлена будет против оси .

7. Два мотоциклиста выезжают одновременно из двух пунктов навстречу друг другу. Один из них спускается равноускоренно с горы, имея начальную скорость 36 км/ч и ускорение 2 м/с². Другой равнозамедленно поднимается в гору с начальной скоростью 72 км/ч и с тем же по модулю ускорением. Первоначальное расстояние между мотоциклистами равно 300м. Через сколько времени они встретятся?

Дано: 1 мотоциклист: км/ч = 10 м/с 2 мотоциклист: км/ч = 20 м/с м/с м

Решение: 0 → α2   ◦ 300   Выберем направление оси OX с горы вниз, тогда ; < 0;>0   Если в начальный момент времени 1го мотоциклиста поместить в начало координат, то , тогда второй мотоциклист, находясь на расстоянии 300 м от первого, будет иметь начальную координату м. Используя уравнение координаты для равноускоренного движения, запишем это уравнение для обоих тел: В момент встречи , т.е. Решая уравнение, находим t – момент встречи с Ответ: мотоциклисты встретятся через 10 с.

(время встречи)

8. Пользуясь графиком проекции скорости найти начальную скорость, скорости в начале четвёртой и в конце шестой секунд. Вычислить ускорение и написать уравнение .

Решение:

1. м/с

2. Скорость в начале четвёртой секунды – это скорость за 3 с.

с; м/с

3. с; м/с

4. м/с; м/с; с.

Скорость от 1 м/с до 4 м/с изменится за 6 с.

м/с²

5. Уравнение скорости для равноускоренного движения в общем виде: , в нашем случае: .

9. Уравнение движения материальной точки имеет вид . Написать формулу зависимости и построить график. Показать на графике штриховкой площадь, численно равную пути, пройденному точкой за 4 с, и вычислить этот путь.

Дано:

Решение: 1. Сравнивая уравнение данного движения с уравнением движения равноускоренного в общем виде и , устанавливаем, что для данного движения . Если представить , то ясно, что м/с². Уравнение скорости для равноускоренного движения в общем виде, для нашего движения 2. Для построения графика найдём две точки:     V_x (м/с)

Vx	t
	0

4

3

2

1

0

1 2 3 4 5 t(c)

3. Пройденный путь и перемещение в данном прямолинейном движении совпадают. Используя уравнение перемещения для равноускоренного движения ,

находим пройденный путь м.

Если представить , то видим, что S – площадь треугольника под графиком.

1.(уравнение) 2. (график) 3. за с (показать на графике)

10. По двум параллельным железнодорожным путям навстречу друг другу равномерно движутся два поезда со скоростями 72 км/ч и 102 км/ч. Длина первого поезда 900 м, второго – 140 м. В течение какого времени один поезд проходит мимо другого?

Дано: 1 поезд – тело 2 поезд СО «К1» Земля – СО «К2» км/ч = 20 м/с км/ч м/с м м	Решение: скорость тела относительно СО «К2», т.е. первого поезда относительно Земли; скорость СО «К1» относительно СО «К2», т.е. 2-го поезда относительно Земли 1. Найдём скорость V1, с которой движется первый поезд относительно второго, т.е. скорость тела относительно СО «К1», используя классический закон сложения скоростей в проекциях на ось OX В итоге уравнение принимает вид м/с 2. С такой скоростью один поезд проходит мимо другого путь l1 + l2 = =900+140=1040 м

11. Какую скорость относительно воды должен сообщить мотор катеру, чтобы при скорости течения реки, равной 2м/с, катер двигался перпендикулярно к берегу со скоростью 3,5 м/с относительно берега?

Дано: катер – тело река – СО «К₁» берег – СО «К₂» V = 2 м/с (скорость реки относительно берега) V₂ = 3,5 м/с (скорость катера относительно берега)

Решение: Согласно классическому закону сложения скоростей. При сложении векторов по правилу треугольника получаем следующий треугольник скоростей:   β α

т.к. полученный треугольник прямоугольный, используем теорему Пифагора , тогда м/с

(модуль скорости)

Чтобы найти направление скорости , определим сначала угол , а затем.

.

Ответ: катер относительно воды должен двигаться со скоростью 4 м/с под углом 60° к берегу против течения реки.

(скорость катера относительно реки)

12. Линейная скорость периферийных точек шлифовального камня не должна превышать 95 м/с. Определите наибольшее допустимое число оборотов в минуту для диска диаметром 30 см.

Дано: t = 1 мин = 60 с V = 95 м/с D = 30 см = 0,3 м	Решение: 1. 2. Ответ: 6051 оборотов в минуту

Дата добавления: 2014-10-15