Элементы алгебры высказываний

Трудно представить такие науки, как, например, информатика или экономика без логики (логика от греческого слова logike является наукой о способах доказательств и опровержений) или более конкретно математической логики. Знакомство с основами математической логики построено так, чтобы приобретенные знания можно было использовать для достижения нашей главной цели – научиться формулировать различные сложные высказывания на языке логики с целью решение прикладных экономических задач на компьютере. В настоящем параграфе мы познакомимся только с одним из разделов математической логики - алгеброй высказываний.

Начало исследований в области формальной логики было положено работами Аристотеля в IV веке до н.э. Однако математические подходы к этим вопросам впервые были указаны Джорджем Булем. В его честь алгебру высказываний называют "булевой алгеброй", а логические значения - булевскими. В алгебре высказываний используется тот же язык формул, который характерен для математики вообще - это освобождает математическую логику от неопределенности в толковании логических выражений, показывающих связи между отдельными суждениями, понятиями и т.д.

Высказывание - это истинное или ложное повествовательное предложение. Высказывание, в котором говорится об одном единственном событии, называется простым высказыванием. Например, Луна – планета Солнечной системы; 2, 3, 8 – простые числа.

Предложения типа «Будь осторожен», «Справишься ли ты с заданиями?» - не являются высказываниями и, следовательно, рассматриваться не будут.

Высказывания обозначаются большими буквами латинского алфавита. Если высказывание А истинно, будем писать А=1, если ложно, то А=0.

Высказывания, образованные при помощью логических операций будем называть сложными. Истинность всякого сложного высказывания устанавливают с помощью таблиц, представленных при определении логических операций. Такие таблицы называются таблицами истинности. В них содержатся всевозможные комбинации значений входных переменных вместе с соответствующими им значениями выходных переменных, т.е. значения функций. При n входных и одной выходной переменной таблица содержит 2n строк и n+1 столбцов. Заметим, что самый простой способ включения в таблицу истинности всех возможных входных комбинаций из значений 0 и 1 состоит в последовательном представлении всех чисел от 0 до 2n-1 в двоичной системе счисления. Конечно, в последнем столбце функция f будет принимать значение либо 0, либо 1 в зависимости от задаваемой комбинации переменных.

Таким образом, таблица истинности - это табличное представление логической схемы (операции), в котором перечислены все возможные сочетания значений истинности простых высказываний вместе со значением истинности образованного ими сложного высказывания для каждого из этих сочетаний.

Высказывания обозначаются большими буквами латинского алфавита. Если высказывание А истинно, будем писать А=1, если ложно, то А=0.

Дата добавления: 2014-10-17