О распределении вероятностей процессов на выходе линейной системы

Из содержания пп. 2.2 следует, что задача нахождения кова­риационной функции и энергетического спектра процессов на выходе линейной системы достаточно проста и от ее решения не требуется знания законов распределения входного случайного процесса. Гораздо более сложной является задача нахождения функции распределения выходного процесса линейной системы. В общем случае при произвольном входном случайном процессе ее решения не существует. Кроме того, для решения данной за­дачи необходимо располагать всей информацией о входном случайном процессе.

Например, одномерная характеристическая функция выход­ного процесса линейной системы с весовой функцией опи­сывается выражением

(2.14)

где входной процесс.

Разлагая экспоненту в (2.14) в степенной ряд получаем:

(2.15)

Из (2.15) вытекает, что для нахождения только одномер­ной характеристической функции выходного сигнала линейной системы (а следовательно, и одномерной плотности вероятности) необходимо знать математическое ожидание, ковариационную функ­цию а все последующие моменты входного случайного про­цесса.

Указанная задача решается просто только тогда, когда входной процесс линейной системы является нормальным.

В этом случае выходной процесс линейной системы будет такие нормальным, что следует из самого механизма преобразо­вания процессов линейной системой.

Действительно, выходной сигнал линейной системы связан со входным интегралом

Из этого выражения вытекает, что есть сумка слу­чайных величин, связанных многомерным нормальным законом распределения, каждая из которых умножается на неслучайную величину. Известно, что в этом случае сумма будет распределена также нормально.

Ковариационная функция и энергетический спектр выходного случайного процесса изменяются в соответствии с приведенными ранее соотношениями*

В связи с вопросом о распределении вероятностей выходно­го сигнала линейной системы, находящейся под воздействием стационарного случайного процесса, рассмотрим так называемое явление нормализации случайных процессов в узкополосных си­стемах.

Сущность этого явления состоит в том, что когда ширина энергетического спектра процесса на входе системы намного ши­ре, чем ее полоса пропускания, выходной случайный процесс име­ет функции распределения, достаточно хорошо аппроксимирующие­ся нормальными. Это обстоятельство непосредственно вытекает из центральной предельной теоремы.

Рассмотрим пример, иллюстрирующий нормализацию случайно­го процесса в узкополосной системе. Предположим, что на вы­сокодобротный колебательный контур воздействует последователь­ность коротких неперекрывающихся импульсов, случайным образом расположенных на оси времени. Постоянная времени контура ве­лика по сравнению со средней величиной интервалов между вход­ными импульсами. Естественно, что напряжение на контуре в любой момент времени является суммой колебаний, вызванных предыдущими импульсами и не успевших затухнуть к данному моменту времени. Чем выше добротность контура, тем уже его по­лоса пропускания и, следовательно, длительнее колебания, вызванные каждым импульсом. Это означает, что в образовании суммарного напряжения на контуре участвует большое число слу­чайных независимых слагаемых, что обеспечивает условия выпол­нения центральной предельной теоремы и, следовательно, при­ближения распределения результирующего напряжения к нормаль­ному.

Отметим, что в широкополосных линейных устройствах может наблюдаться аффект, обратный нормализации. Другими словами, распределение процесса на выходе системы может отличаться от нормального значительно сильнее, чем на входе. Качественно это объясняемся ослаблением эффекта наложения реакций на составляющие сигнала и, следовательно, невыполнением усло­вий центральной предельной теоремы. Данный эффект называют денормализацией процесса.

Дата добавления: 2014-10-17