Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Відношення еквівалентності




Означення 1.3.11. Бінарне відношення R називають відношенням еквівалентності, коли воно рефлексивне, симетричне і транзитивне.

Отже, R є відношенням еквівалентності, якщо:

1) ;

2) ;

3) .

Якщо при цьому , то говорять, що – відношення еквівалентності на множині .

Наприклад, відношення є відношенням еквівалентності.

Відношеннями еквівалентності є також відношення рівності, рівно потужності множин, конгруентності, подібності, діагональне, порожнє та універсальне відношення.

Важливу роль відіграє в математиці відношення “мають однакову остачу при діленні на k ” або “конгруентні за модулем k ”, яке є відношенням еквівалентності на множині N натуральних чисел для будь-якого фіксованого k Î N. Відношення конгруентності за модулем k часто позначають a º b (mod k). Цьому відношенню належать, наприклад, пари натуральних чисел (17,22), (1221,6), (42,57) для k =5, тобто 17 º 22(mod 5), 1221 º 6 (mod 5), 42 º 57 (mod 5).

Нехай – відношення еквівалентності і .

Означення 1.3.12. Переріз відношення за елементом називають класом еквівалентності за відношенням і позначають або .

Отже, за означенням . Тобто клас еквівалентності містить всі такі елементи множини , які перебувають у відношенні з елементом .

Наприклад, якщо – відношення паралельності у площині , а – деяка фіксована пряма у цій площині, то клас еквівалентності містить усі прямі площини , паралельні прямій .

Теорема 1.3.1. Будь-які два класи еквівалентності за відношенням або не мають спільних елементів, або збігаються.

Теорема 1.3.2. Будь-яку множину , в якій задано відношення еквівалентності , можна подати у вигляді об’єднання різних класів еквівалентності за відношенням , тобто .

Означення 1.3.13. Множину всіх класів еквівалентності за відношенням називають фактор-множиною множини за відношенням : або , де – сукупність таких елементів множини , яким відповідають різні класи еквівалентності.

Наприклад, якщо – сукупність всіх студентів певної групи, які отримали за іспит оцінку , а – відношення еквівалентності, що визначається умовою тоді і тільки тоді, коли і , то . Фактор-множина для відношення “конгруентні за модулем 3” на множині N натуральних чисел складається з трьох класів { 3 k | k Î N }, { 3 k -1 | k Î N } і { 3 k -2 | k Î N }.

Потужність фактор-множини | А / R | називають індексом розбиття або індексом відношення еквівалентності R.

Нехай R відношення еквівалентності на множині А. Відображення множини А на фактор-множину А / R, яке кожному елементу a Î А ставить у відповідність клас еквівалентності , називають канонічним або природним відображенням множини А на фактор-множину А / R.

 




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-10-17; Просмотров: 351; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.014 сек.