Біном Ньютона. Трикутник Паскаля. Властивості біноміальних коефіцієнтів

Розв’язання

.<

З елементарної математики відомі формули скороченого множення:

.

Ці формули можна записати і так:

.

Очевидно, існує загальна закономірність.

Теорема 5.1.9. Справедлива рівність:

.

Цю рівність називають біномом Ньютона.

Біноміальні коефіцієнти можна подати у вигляді трикутної таблиці, яку називають трикутником Паскаля:

п =1

п =2

п =3

п =4

п =5

...

У п -му рядку трикутника Паскаля кожен коефіцієнт розкладу, крім двох крайніх, що дорівнюють 1, – це сума відповідних коефіцієнтів із попереднього рядка.

Узагальненням бінома Ньютона є наступна теорема:

Теорема 5.1.10 (поліноміальна теорема). Справедлива рівність:

,

де .

Числа називають біноміальними коефіцієнтами.

Властивості біноміальних коефіцієнтів:

1. (випливає з теореми 4.1.6, якщо замінити у формулі k на (n–k), то (n–k) заміниться на (n– (n–k))= k).

2. (формула симетрії).

3. (формула додавання).

4. (– кількість всіх розміщень з повтореннями з елементів 2-х типів).

5. (формула винесення за дужки).

6. .

7. .

ЛІТЕРАТУРА

1. Андерсон Джеймс. Дискретная математика и комбинаторика = Discrete Mathematics with Combinatorics. — М.: «Вильямс», 2006. — С. 960. — ISBN 0-13-086998-8

2. Виленкин Н.Я. Популярная комбинаторика. — М.: Наука, 1975.

3. Ерош И. Л. Дискретная математика. Комбинаторика — СПб.: СПбГУАП, 2001. — 37 c.

4. Липский В. Комбинаторика для программиста. — М.: Мир, 1988. — 213 с.

5. Раизер Г. Дж. Комбинаторная математика. — пер. с англ. — М., 1966.

6. Райгородский А. М. Линейно-алгебраические и вероятностные методы в комбинаторике. — Летняя школа «Современная математика». — Дубна, 2006.

7. Рейнгольд Э., Нивергельт Ю., Део Н. Комбинаторные алгоритмы. Теория и практика. — М.: Мир, 1980. — 476 с.

8. Риордан Дж. Введение в комбинаторный анализ. — пер. с англ. — М., 1963.

9. Р. Стенли. Перечислительная комбинаторика = Enumerative Combinatorics. — М.: «Мир», 1990. — С. 440. — ISBN 5-03-001348-2

10. Р. Стенли. Перечислительная комбинаторика. Деревья, производящие функции и симметрические функции = Enumerative Combinatorics. Volume 2. — М.: «Мир», 2009. — С. 767. — ISBN 978-5-03-003476-8

РОЗДІЛ 6. ТЕОРІЯ ІНФОРМАЦІЇ ТА КОДУВАННЯ

Дата добавления: 2014-10-17