Випадкові похибки

Коригувальний коефіцієнт. Числовий коефіцієнт, на який помножують результат вимірювання з метою вилучення систематичної похибки.

Результати вимірювання, отримані після введення поправки та (або) із врахуванням коригувального коефіцієнта, називають поправленими.

Ефективним способом зменшення систематичних похибок є їх рандомізація, тобто переведення у випадкові. Нехай, наприклад, буде n однотипних засобів вимірювання із систематичною похибкою однакового походження; якщо для даного засобу ця похибка постійна, то від пристрою до пристрою вона змінюється випадково. Тому вимірювання однієї і тієї самої величини всіма засобами і усереднення результатів одержаних спосте­режень дозволять значно зменшити цю похибку.

Похибки вимірювань зазвичай носять випадковий характер. Випадковість зумовлюється: нестаціонарністю і випадковим характером вимірюваної фізичної величини; несталістю метрологічних характеристик засобів вимірювань, яка визначається випадковим характером формування коефіцієнтів перетворення вимірювальних пристроїв; випадковим характером впливу зовнішніх факторів на засіб вимірювання у процесі вимірювального експерименту.

Кількісно випадковий процес описують випадковою функцією часу, яка в будь-який момент часу може набувати різних значень із деяким розподілом імовірностей. Для будь-якого значення є випадковою величиною. Випадковий процес визначається сукупністю проявів процесу в часі і законами цієї сукупності. Функціональна залежність проявів процесу називається реалізацією випадкової функції.

Для характеристики частоти появи випадкових похибок теорія ймовірностей пропонує використовувати закони розподілу. При цьому виділяється два види опису законів розподілу: інтегральний і диференціальний.

Інтегральним законом розподілу або функцією розподілу ймовірностей випадкової величини Х називають функцію, значення якої для кожного х є ймовірністю події, яка полягає в тому, що випадкова величина Х приймає значення менші х, тобто функцію

.

Дана функція є неспадною функцією х і змінюється в межах від до. Вона існує для всіх випадкових величин як дискретних, так і неперервних. Для випадкової величини з неперервною і диференційованою функцією розподілу можна знайти диференціальний закон розподілу ймовірностей як похідну від, тобто як. Ця залежність називається густиною розподілу ймовірностей. Вона завжди позитивна і відповідає умові нормування

,

яка безпосередньо витікає із властивостей інтегральної функції розподілу.

Розподіл Гаусса. Серед законів розподілу нормальний закон займає провідне місце, особливо для оцінки похибок вимірювань. Річ у тому, що похибка вимірю­вання визначається великим числом частинних складових, що носять випадковий характер, а з центральної граничної теореми ймовірностей випливає, що розподіл похибок вимірювання буде близьким до нормаль­ного, якщо результати спостережень формуються під впливом великої кількості незалежно діючих частинних похибок випадкового характеру, кож­на з яких є незначною за значенням порівняно із загальною випадковою похибкою вимірювання. Щільність імовірностей нормального закону описується виразом

, (1.18)

де - середнє квадратичне відхилення; - випадкова складова похибки.

Щільність розподілу для нормального закону має вигляд дзвона. Якщо (рис.1.13, а), то крива буде зміщена праворуч або ліворуч від початку осі ординат на значення в залежності від знака систематичної складової похибки. Крива симетрична відносно осі ординат, коли відсутня систематична складова похибки.

Значення s впливає на гостровершинність кривої. Збільшення значення (рис.1.13, б) приводить до зменшення гостровершинності, і тому ймовірніша поява великих похибок. І, навпаки, при зменшенні s зростає ймовірність появи малих похибок і знижується ймовірність появи великих похибок.

Основними числовими характеристиками нормального закону розподілу є математичне очікування і дисперсія.

Математичне очікування похибки вимірювань є невипадковою величиною, відносно якої розсіюються інші значення похибки при повторних вимірюваннях. Математичне очікування характеризує систематичну складову похибки.

Дисперсія похибки характеризує ступінь розсіювання окремих значень похибки відносно математичного очікування. Чим менша дисперсія, тим точніше виконано вимірювання. Отже, дисперсія може служити характеристикою точності вимірювань. В зв’язку з тим, що дисперсія виражається в одиницях похибки в квадраті, то як числову характеристику точності вимірювань використовують середнє квадратичне відхилення (квадратний корінь від дисперсії) з позитивним знаком і в одиницях вимірюваної величини.

а) б)

Рисунок 1.13

При проведенні вимірювань необхідно отримати результат з похибкою, що не перевищує допустимого значення. Знання тільки середнього квадратичного відхилення не дозволяє знайти максимальну похибку, що підкреслює обмежені можливості такої числової характеристики похибки, як. Максимальне значення похибки залежить не тільки від, але й від виду закону розподілу. Коли розподіл похибки теоретично не обмежений, наприклад, для нормального закону розподілу, похибка може бути будь-якою за значенням. В цьому випадку можна говорити тільки про інтервал, за границі якого похибка не виходить з деякою ймовірністю. Цей інтервал називають довірчим, а ймовірність, що характеризує його, - довірчою ймовірністю.

В практиці вимірювань задають різні значення довірчої ймовірності, наприклад: 0.90; 0.95; 0.98; 0.99; 0.9973; 0.999. Довірчий інтервал і довірчу ймовірність вибирають в залежності від конкретних умов вимірювання. Наприклад, для нормального закону розподілу випадкових похибок з середнім квадратичним відхилення часто використовують довірчий інтервал від до, для якого довірча ймовірність Р=0.9973. Така ймовірність означає, що із 370 випадкових похибок тільки одна похибка за абсолютним значенням буде більшою за. Оскільки в практиці число вимірювань рідко перевищує декілька сотень, поява однієї випадкової похибки, більшої ніж, малоймовірна. Наявність двох подібних похибок практично неможлива. Тому всі можливі похибки, розподілені за нормальним законом, практично не перевищують за абсолютним значенням (правило «трьох сигм»).

Дата добавления: 2014-10-22