Регрессионные модели с фиктивными переменными

Расширить сферу применения линейных моделей можно, если включить в модель фиктивные переменные (dummy variabjes). Необходимость введения фиктивной переменной возникает при изучении влияния качественного фактора на зависимую переменную. Например, исследование зависимости заработной платы в зависимости от таких факторов, как пол или образование. Как правило, фиктивная переменная - это индикативная переменная, отражающая качественную характеристику. Примерами качественных переменных являются: профессия, климатические условия, принадлежность к определенному региону и др. Чтобы ввести качественные переменные в регрессионную модель, они должны быть преобразованы в количественные. Например, значение качественной переменной будет принимать значение: 1 - если пол мужской; 0 – если пол женский. Качественное различие можно формализовать с помощью любой переменной, принимающей два значения, не обязательно 0 или 1. Однако на практике почти всегда используют лишь фиктивные переменные типа «0-1», поскольку интерпретация в этом случая наиболее простая.

Фиктивные переменные такие же равноправные переменные, как и любые из объясняющих, только они описывают качественные признаки.

Например, оценивая регрессию заработной платы от стажа работы (количественный фактор) и пола (качественный признак), введем в модель следующие факторы:

- стаж работы;

- фиктивная переменная, которая принимает два значения: 1- если пол мужской, 0 – если пол женский.

Модель будет описываться уравнением:

.

Для оценки данной модели может использоваться метод наименьших квадратов. Параметр покажет разницу в заработной плате у мужчины и женщины при одинаковом стаже работы.

Если число градаций качественного признака более двух, то число фиктивных переменных должно быть на единицу меньше числа качественных градаций. В этом случае матрица исходных фиктивных переменных не будет линейна зависима и возможна оценка параметров регрессионной модели.

Фиктивные переменные позволяют строить и оценивать кусочно-линейные модели, которые можно применять для исследования структурных изменений.

Например, исследование зависимости объема промышленного производства y от размера иностранных инвестиций x_t. При этом есть основания считать, что в момент времени t₀ произошли структурные изменения и характер зависимости изменился. Для оценки этой модели введем фиктивную переменную

и запишем модель в виде: .

При t≤t₀ линия регрессии имеет наклон a₁, при t>t₀ наклон равен (a₁+ a₂) и разрыва в точке не происходит.

Фиктивные переменные применяются для моделирования сезонных колебаний в рядах динамики. Регрессионная модель с сезонными фиктивными переменными является аналогом аддитивной модели временного ряда. Количество фиктивных переменных в данной модели должно быть на единицу меньше числа моментов времени внутри одного цикла колебаний. Например, при моделировании месячных сезонных колебаний за несколько лет число фиктивных переменных в модели будет 11, при моделировании квартальных сезонных колебаний число фиктивных переменных будет три. Сезонные фиктивные переменные будут дополнительно оценивать вклад причин, действующих на соответствующем интервале наблюдения. При моделировании квартальных данных оцениваемая модель имеет следующий вид:

,

где - фиктивные переменные;

- их коэффициенты, отражают численную величину эффекта, вызванного сменой сезона года.

Фиктивные переменные определяем следующим образом:

- когда наблюдение относится к первому кварталу, и нулю в остальных случаях;

- когда наблюдение относится ко второму кварталу, и нулю в остальных случаях;

- когда наблюдение относится к третьему кварталу, и нулю в остальных случаях;

Вводить четвертую переменную для четвертого квартала не требуется, так как в этом случае все переменные оказались бы связанными тождеством

,

что привело бы их к полной коллинеарности и вырожденности информационной матрицы (Х^ТХ).

Каждая фиктивная переменная отражает сезонную компоненту временного ряда для одного какого-то периода, в данном случае квартале. Она равна единице для данного периода и нулю для всех остальных периодов, например:

.

Зависимая переменная будет принимать значение:

для первого квартала;

для второго квартала;

- для третьего квартала;

- для четвертого квартала.

В данной модели в качестве эталонной категории выбран четвертый квартал (эталонная категория выбирается произвольно). Поэтому коэффициент покажет дополнительное изменение результирующей величины в первом квартале относительно четвертого квартала, связанное со сменой времен года, аналогично покажут соответствующие дополнительные изменения в третьем и четвертом кварталах относительно четвертого квартала.

Если в динамике изучаемого процесса кроме сезонных изменений наблюдается тренд, то в модель регрессии с фиктивными следует включить и фактор времени. Для квартальных данных такая модель регрессии будет иметь следующий вид:

.

Оценка параметров регрессионной модели с фиктивными переменными производится обычным методом наименьших квадратов.

Дата добавления: 2014-10-22