ЛЕКЦИЯ №5

2.

ОТВЕТЫ

4.

ОТВЕТЫ

Дискретные случайные величины. Числовые характеристики дискретных случайных величин

Практическое занятие №6.

1. Закон распределения ДСВ задан таблицей

X	-3	-1
p	0,1	0,3	0,1	0,3	0,2

Составить функцию распределения и построить ее график. С помощью функции найти вероятности событий и.

2. Закон распределения ДСВ задан таблицей

X
p	0,1	0,3	0,2	0,4

Найти,, и вероятность попадания в интервал.

3. С целью привлечения покупателей компания «Кока-кола» производит рекламную акцию, в которой каждая десятая бутылка напитка, выпущенная фирмой, является призовой. Составить ряд распределения числа призовых из трех приобретенных покупателем бутылок. Найти функцию распределения этой случайной величины.

4. В лотерее из 40 билетов разыгрываются два выигрыша на сумму 200 рублей и 600 рублей. Стоимость билета 100 рублей. Составить закон распределения суммы чистого выигрыша для лица, купившего два билета.

5. Два покупателя независимо друг от друга делают по одной покупке. Вероятность того, что покупку сделает первый покупатель, равна 0,6, а вероятность того, что второй – 0,8. Случайная величина - число покупок, сделанных покупателями. Построить многоугольник распределения этой случайной величины.

6. Каждый поступающий в университет должен сдать 3 экзамена. Вероятность успешной сдачи первого экзамена равна 0,9, второго – 0,8, третьего – 0,7. Следующий экзамен абитуриент сдает только в случае успешной сдачи предыдущего. Найти математическое ожидание и дисперсию числа экзаменов, сдававшихся абитуриентом в университет.

7. Дана функция распределения случайной величины

Найти: а) ряд распределения;

б),,;

в) построить график функции.

8. Ряд распределения дискретной случайной величины состоит из двух неизвестных значений. Вероятность того, что величина примет меньшее из этих значений равна 0,8. Найти закон распределения этой случайной величины, если ее математическое ожидание равно 3,2, а дисперсия 0,16.

9. Задан ряд распределения:

X
p	0,4	0,2	0,2	0,05	0,1	0,05

Найти,,

10. Даны законы распределения двух независимых случайных величин:

X	-4
p	0,1	0,5	0,4

Y
p	0,5	0,5

Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины.

1., и.

2.,,,.

3..

	-20

5. Отметить точки (,), (,), (,) и соединить ломаной. 6.,.

	0,3	0,4	0,3

7. а)

б),,. 8.,,,. 9.,,.

10.,.

Задачи для домашнего задания №6.

1. Закон распределения ДСВ задан таблицей

X	-5
p	0,3	0,4	0,2	0,1

Найти, и. Построить функцию распределения. Вычислить и.

2. Среди 7 купленных театральных билетов 3 билета в партер. Наудачу взяли 4 билета. Составить ряд распределения числа билетов в партер среди выбранных. Построить график функции распределения.

3. Клиенты банка, не связанные друг с другом, не возвращают кредиты в срок в среднем в 20% случаев. Составить закон распределения числа возвращенных в срок кредитов из 3 выданных. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение с помощью ряда распределения и по формулам биномиального распределения.

4. Экзаменатор задает студенту вопросы, пока тот правильно отвечает, затем ставит оценку. Максимальное количество заданных вопросов – четыре. Вероятность правильного ответа на один вопрос равна. Построить многоугольник распределения числа заданных студенту вопросов.

5. - число появлений события А в 8 независимых испытаниях. Вероятность наступления события А в каждом испытании одна и та же. Известно, что. Найти.

6. Монета подбрасывается несколько раз. Какое количество раз надо бросить монету. Чтобы математическое ожидание числа появлений герба было равно 25? Чему будет равна дисперсия для этой случайной величины?

7. Найти математическое ожидание случайной величины, если известны математические ожидания и:,.

8. Даны законы распределения двух независимых случайных величин:

X
p	0,4	0,2	0,1	0,3
Y
p	0,5	0,2	0,3

Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины.

9. Найти и для задачи №1 домашнего задания №6 с помощи ряда распределения и сделать проверку, используя формулы для данного биномиального распределения.

10. Может ли случайная величина иметь биномиальное распределение, если: а),; б),.

1.,,,. и.

2.,,. 3. Отметить точки (,), (,), (,), (,) и соединить ломаной. 4. или. 5.,. 6.. 7.,. 8.,. 9. а) да.,; б) нет, т.к. не может быть не целым.

8.5. Непрерывные случайные величины (НСВ). Плотность вероятности.

Выше дано понятие НСВ, имеющей бесконечное несчетное множество значений. Приведем более строгое определение.

Определение 26. СВ Х называется непрерывной, если ее функция распределения непрерывна в любой точке и дифференцируема всюду, кроме, быть может, отдельных точек.

Теорема 11. Вероятность любого отдельно взятого значения НСВ равно нулю.

Замечание 10. На первый взгляд данное утверждение может показаться парадоксальным. Действительно, если событие имеет ненулевую вероятность, то оказывается, что оно является суммой событий, состоящих в принятии СВ Х любых конкретных значений на отрезке и имеющих нулевую вероятность. Но никакого противоречия здесь нет, т.к. теорема сложения справедлива только для конечного или счетного множества событий, а НСВ таковым не является.

Представление о событии, имеющем ненулевую вероятность, но складывающуюся из событий с нулевой вероятностью, не более парадоксально, чем представление об отрезке, имеющем определенную длину, тогда как все точки отрезка имеют длину, равную нулю.

Следствие.

Задание НСВ с помощью функции распределения не является единственным. Введем понятие плотности вероятности НСВ.

Определение 27. Плотностью вероятности непрерывной случайной величины Х называется производная ее функции распределения:.

Плотность вероятности, как и функция распределения, является одной из форм закона распределения, но в отличие от функции распределения, она существует только для НСВ. Плотность вероятности иногда называют дифференциальной функцией распределения. График называют кривой распределения.

Свойства.

1º..

2º..

3º..

4º..

Геометрически свойства 1 и 4 означают, что кривая распределения лежит не ниже оси абсцисс, и полная площадь фигуры, ограниченной кривой распределения и осью абсцисс равна единице.

8.6. Числовые характеристики НСВ.

Понятие математического ожидания и дисперсии, введенные выше для ДСВ, можно распространить на НСВ. Заменяя в соответствующих формулах (8.1) и (8.2) знак суммирования на знак интеграла с бесконечными пределами интегрирования, скачущий аргумент - непрерывно меняющимся, а вероятности - функцией распределения, получим формулы для математического ожидания и дисперсии НСВ Х:

(8.5)

(8.6)

Все свойства и, рассмотренные выше для ДСВ, справедливы и для НСВ.

Замечание 11. На практике при вычислении дисперсии удобнее пользоваться не формулой (8.6), а формулой, полученной из этой с использованием свойств математического ожидания:

. (8.7)

Пример 8.7. Функция задана в виде:

=

Найти:

1) значение а, при котором функция будет плотностью вероятности некоторой СВ Х;

2) функцию распределения;

3);

4) числовые характеристики СВ Х.

Решение. 1) Для вычисления а используем свойство 4 плотности вероятности:

откуда.

2) найдем по свойству 3 плотности вероятности.

Если, то.

Если, то.

Таким образом, =

3) По свойству 2 плотности вероятности

=.

Замечание 12. можно найти и по свойству 3:

=.

4) Найдем числовые характеристики по формулам (8.5) и (8.7).

.

.

Дата добавления: 2014-10-23