И пример выполнения

Методические указания по выполнению задания №1б

Методические указания по выполнению задания №1a

1.2.1. Постройте спектральную диаграмму аналогового сигнала, откладывая по оси абсцисс частоты mF₁, а по оси ординат соответствующие им амплитуды X_m, где m = 1, 2, 3.

1.2.2. Рассчитайте частоты спектральных составляющих дискретного сигнала, учитывая, что размножение спектра осуществляется по закону:

где k = 0, 1, 2, 3..., а F = mF₁ – частота спектральной составляющей аналогового сигнала.

Найдите первую тройку частот при k = 0, задавая m = 1, 2, 3.

Задайте k= 1 и рассчитайте частоты F_Д – mF₁ при m = 1, 2, 3.

Задайте k= 1 и рассчитайте частоты F_Д + mF₁ при m = 1, 2, 3.

Задайте k= 1 и рассчитайте частоты 2F_Д – mF₁ при m = 1, 2, 3.

Задайте k= 1 и рассчитайте частоты 2F_Д + mF₁ при m = 1, 2, 3.

Каждой из рассчитанных частот поставьте в соответствие относительную амплитуду спектральной составляющей дискретного сигнала, пропорциональную X_m. Максимальное значение относительной амплитуды должно быть равно единице.

Постройте спектральную диаграмму дискретного сигнала.

1.2.3. Изучите алгоритм моделирования аналогового сигнала, его дискретизации и восстановления аналогового сигнала из дискретного.

Чтобы выполнить моделирование аналогового сигнала x(t) примем в (1.1)

где - временной интервал между двумя соседними расчетными точками, i – порядковый номер расчетной точки, изменяющийся от 0 до i_max.

Подставляя последнее соотношение в (1.1), получим

, (1.2)

где - период сигнала, - количество расчетных точек в периоде сигнала.

Количество расчетных точек в интервале дискретизации равно

Сформируем вспомогательную последовательность единичных отсчетов u(i) с периодом i_d (рисунок 1.1).

Рисунок 1.1- Последовательность единичных отсчетов

Последовательность u(i) формируется в цикле по порядковому номеру расчетной точки i с использованием счетчика расчетных точек, переменная которого q изменяется от нуля до i_d.

Алгоритм формирования i – го отсчета последовательности u(i) приведен на рисунке 1.2.

Дискретный сигнал определяется следующим соотношением

(1.3)

Рисунок 1.2 – Алгоритм формирования последовательности

единичных отсчетов u(i)

Восстановление аналогового сигнала из дискретного осуществляется путем выделения из спектра дискретного сигнала только тех составляющих, которые соответствуют спектру аналогового сигнала, и обнулению остальных.

В соответствии с описанным алгоритмом разработана программа моделирования «Diskret_A» в программной среде Scilab 5.4.1, приведенная в Приложении А.

Познакомьтесь с этой программой.

Откройте Scilab 5.4.1. Появится командное окно Scilab. Окно содержит меню, панель инструментов и рабочую область. Признаком того, что система готова к выполнению команды, является наличие знака приглашения (горизонтальной стрелки), после которого расположен мигающий курсор.

Щелчком левой кнопки мыши откройте редактор (ИнструментыТекстовый редактор SciNotes). Появится окно для редактирования. Из редактора откройте файл «Diskret_A» (FileOpen…Diskret_A). Появится текст программы с комментариями, которые вводятся с использованием знака //.

В строках 7-15 осуществляется ввод исходных данных. В строках 19-24 определяются количество расчетных точек в периоде сигнала is и в интервале дискретизации id, количество расчетных точек imax при моделировании аналогового сигнала как функции времени и количество расчетных точек I при выводе временных диаграмм на экран монитора. Величина imax равна 2^М, где М – целое число. Это связано с использованием функций быстрого преобразования Фурье для определения спектров аналогового и дискретного сигналов и восстановления аналогового сигнала из дискретного. Проверьте, удовлетворяет ли значение imax этому условию. Величина I выбрана так, чтобы пронаблюдать шесть периодов сигнала.

В строках 26-41 обнуляются массивы данных, которые используются при расчете временных зависимостей и формировании временных диаграмм аналогового и дискретного сигнала.

Затем в цикле по порядковому номеру расчетной точки i формируются аналоговый сигнал x(i) (строки 46-49), последовательность единичных отсчетов u(i) (строки 52-57) и дискретный сигнал xd(i) (строка 60).

В строках 64- 66 в цикле по порядковому номеру расчетной точки i0 формируются массивы данных для вывода графиков на экран монитора. Строки 68 и 69 формируют массив t временных значений, предназначенный для вывода графиков. Строки 70-81 обеспечивают построение трех графиков:

§ Аналогового сигнала на входе дискретизатора,

§ Последовательности единичных отсчетов,

§ Дискретного сигнала.

В строках 84 и 85 определяются спектры аналогового и дискретного сигналов соответственно методом прямого быстрого преобразования Фурье (функция fft – fast Fouriertransform).

В строке 86 рассчитывается максимальный номер отсчета спектра kmax, используемый при построении спектральных диаграмм, который соответствует частоте . Затем обнуляются массивы данных, которые используются при построении спектральных диаграмм, (строки 87-90). Строки 91 и 92 формируют массив частот f, используемый при построении спектральных диаграмм. Затем в цикле по порядковому номеру расчетной точки спектра k формируются массивы значений спектральной плотности аналогового s0 и дискретного sd0 сигналов для построения спектральных диаграмм (строки 93-96).

Строки 97-104 содержат команды для построения графиков спектров аналогового и дискретного сигналов.

Для восстановления аналогового сигнала из дискретного сначала рассчитывается значение порядкового номера расчетной точки спектра k1, которое соответствует половине частоты дискретизации (строка 107), а затем в цикле по k находится массив отсчетов спектра восстановленного сигнала sv (строки 109-115). Массив sv совпадает с массивом sd при k<k1. Остальные элементы массива sv при равны нулю.

Восстановленный сигнал определяется в строке 117 методом обратного быстрого преобразования Фурье (функция ifft – inverse fast Fouriertransform).

Строки 118-120 формируют массив отсчетов восстановленного сигнала для построения графика, а в строках 121-124 приведены команды, обеспечивающие построение графика.

1.2.4. Приступите к моделированию. Введите исходные данные. При вводе данных учтите, что дробная часть числа отделяется от целой части точкой, а не запятой, а идентификатором числа π в программной среде Scilab является %pi.

Фазовые сдвиги φ₁, φ₂ и φ₃ обозначены в программе как phi1, phi2 и phi3 соответственно, а Δt как delta_t.

Значение Δt нужно подставлять в программу в тех единицах, которые указаны в таблице. Так как эта величина задается в микросекундах, то на временных диаграммах сигналов единицей измерения (по оси абсцисс) будет мкс, а на спектральных диаграммах МГц.

Запустите программу (Выполнение Сохранить и выполнить). Появится графическое окно с временными и спектральными диаграммами.

Сохраните результаты моделирования в виде файла в формате PNG.

(Файл ЭкспортироватьPNG).

Этот файл можно открыть в программе PAINT, а затем скопировать в пояснительную записку.

Проанализируйте полученные временные и спектральные диаграммы:

· Сравните спектры аналогового и дискретного сигналов.

· Сравните аналоговый сигнал, восстановленный из дискретного сигнала, с исходным аналоговым сигналом, действующим на входе дискретизатора.

Повторите эксперимент при в два раза меньшей частоте дискретизации. Проанализируйте полученный результат и сравните его с предыдущим.

1.3. Пример выполнения задания №1a

Исходные данные: X₁=1, X₂ =0.9, X₃ =0.5, φ₁=0, φ₂=0, φ₃=0, F₁=1МГц, F_Д= 8 МГц, Δt = 1/512 мкс.

Требуется:

· Определить амплитудный спектр аналогового сигнала

· Определить амплитудный спектр дискретного сигнала в интервале частот от 0 до 2F_Д+3F₁, где F_Д – частота дискретизации.

· Выполнить моделирование аналогового сигнала, его дискретизации и восстановления аналогового сигнала из дискретного при двух значениях частоты дискретизации: первое значение F_Д= 8 МГц, второе значение в два раза меньше первого F_Д= 4 МГц. Моделирование выполняется по программе «Diskret».

· Сравнить аналоговый сигнал, восстановленный из дискретного, с исходным аналоговым сигналом на входе дискретизатора. Сравнение выполнить при двух значениях частоты дискретизации.

Выполнение задания:

1.3.1. Расчет частот спектральных составляющих дискретного сигнала по формуле

k = 0

1. F=F₁, f₁ = F₁ = 1 МГц,

2. F=2F₁, f₂ = 2F₁ = 2 МГц,

3. F=3F₁, f₃ = 3F₁ = 3 МГц.

k=1

4. F=3F₁, f₄ = F_Д – 3F₁ = 8 – 3 = 5 МГц,

5. F=2F₁, f₅ = F_Д – 2F₁ = 8 – 2 = 6 МГц,

6. F=F₁, f₆ = F_Д – F₁ = 8 – 1 = 7 МГц,

7. F=F₁, f₇ = F_Д + F₁ = 8 + 1 = 9 МГц,

8. F=2F₁, f₈ = F_Д + 2F₁ = 8 + 2 = 10 МГц,

9. F=3F₁, f₉ = F_Д + 3F₁ = 8 + 3 = 11 МГц.

k=2

10. F=3F₁, f₁₀ = 2F_Д – 3F₁ = 8 – 3 = 5 МГц,

11. F=2F₁, f₁₁ = 2F_Д – 2F₁ = 8 – 2 = 6 МГц,

12. F=F₁, f₁₂ = 2F_Д – F₁ = 8 – 1 = 7 МГц,

13. F=F₁, f₁₃ = 2F_Д + F₁ = 8 + 1 = 9 МГц,

14. F=2F₁, f₁₄ = 2F_Д + 2F₁ = 8 + 2 = 10 МГц,

15. F=3F₁, f₁₅ = 2F_Д + 3F₁ = 8 + 3 = 11 МГц.

Построение спектральных диаграмм аналогового и дискретного сигналов (рисунки 1.3 и 1.4)

Рисунок 1.3 – Амплитудный спектр аналогового сигнала

Рисунок 1.4 – Амплитудный спектр дискретного сигнала

На рисунке 1.4 амплитудный спектр представлен в относительном масштабе по оси ординат как отношение амплитуды спектральной составляющей X к максимальной амплитуде X_max.

1.3.3. Результат моделирования по программе «Diskret» в виде временных и спектральных диаграмм аналогового и дискретного сигнала приведён на рисунке 1.5

Выводы:

§

§

Студент должен самостоятельно сделать выводы:

§ Об особенностях спектра дискретного сигнала по сравнению со спектром соответствующего аналогового сигнала и о соответствии частот спектральных составляющих дискретного сигнала рассчитанным значениям,

§ О соответствии восстановленного сигнала исходному аналоговому сигналу.

Рисунок 1.5. Временные и спектральные диаграммы

при F_Д > 2F₃

Повторение эксперимента при в два раза меньшей частоте дискретизации.

Результат моделирования в виде временных и спектральных диаграмм аналогового и дискретного сигнала приведён на рисунке 1.6.

Рисунок 1.6. Временные и спектральные диаграммы

при F_Д < 2F₃

Выводы:

§

§

Студент должен самостоятельно сделать выводы:

§ О соответствии сгустков спектра дискретного сигнала спектру соответствующего аналогового сигнала.

§ О соответствии восстановленного сигнала исходному аналоговому.

§ О причине несоответствия восстановленного сигнала исходному аналоговому сигналу

Текст программы моделирования с введенными Вами данными должен быть в пояснительной записке в качестве приложения.

1.4. Содержание задания №1б

Требуется:

1.4.1. Выполнить моделирование аналогового сигнала, модулированного по амплитуде

,

где f₀ – частота несущей, X(t) – амплитуда несущей, изменяющаяся во времени,

где F – частота модулирующего сигнала.

Функция sign(x) определяется следующим образом

Таким образом, X(t) представляет собой последовательность однополярных прямоугольных импульсов с частотой следования F и амплитудой X₀, а x(t) – последовательность синусоидальных импульсов.

Моделирование выполнить с шагом изменения времени Δt.

1.4.2. Выполнить моделирование процессов дискретизации сигнала x(t) c частотой дискретизации F_Д.

1.4.3. Выполнить восстановление аналогового сигнала из дискретного и сравнить восстановленный сигнал с исходным аналоговым сигналом, который подвергался дискретизации.

Исходными данными для выполнения задания являются:

X₀ - амплитуда несущей,

f₀ - частота несущей,

F - частота модулирующего сигнала,

Δt - шаг изменения времени,

F_Д - частота дискретизации.

Значения указанных параметров приведены в таблице 1б.

Таблица 1б. Исходные данные для выполнения задания №1б

Номер варианта	X0	f0 МГц	F МГц	FД МГц	Δt мкс
			0.4		1/512
			0.5		1/512
			0.8		1/512
			0.25		1/512
			0.20		1/512
			0.40		1/512
			0.10		1/256
			0.20		1/512
			0.10		1/256
			0.20		1/512
			0.25		1/512
			0.20		1/512
			0.25		1/512
			0.20		1/512
			0.20		1/512
			0.25		1/512
			0.50		1/512
			0.40		1/512
			0.8		1/512
			0.25		1/512
			0.50		1/512
			0.40		1/512
			0.50		1/512
			0.40		1/512
			0.10		1/512
			0.20		1/512

Продолжение таблицы 1б

Номер варианта	X0	f0 МГц	F МГц	FД МГц	Δt мкс
			0.10		1/256
			0.20		1/256
			0.10		1/256
			0.10		1/256
			0.25		1/512
			0.20		1/256
			0.20		1/256
			0.25		1/256
			0.50		1/512
			0.50		1/512
			1.00		1/256
			1.00		1/256
			1.00		1/256
			1.00		1/256
			0.20		1/256
			0.10		1/256
			0.20		1/512
			0.10		1/256
			0.20		1/256
			0.20		1/256
			0.20		1/256
			0.40		1/512
			0.40		1/512
			0.40		1/512

Задание 1б выполняется по программе «Diskret_B» (Приложение Б). Эта программа отличается от программы «Diskret_A» только видом функции, описывающей исходный аналоговый сигнал. Формирование аналогового сигнала осуществляется в цикле по номеру расчетной точки I, который открывается в строке 42.

Строка 42 задает i – ый отсчет косинусоидального сигнала с частотой модуляции F, а строка 44 формирует сигнал, модулированный по амплитуде, с частотой несущей f0. Остальные блоки программы не отличаются от аналогичных блоков программы «Diskret_A», поэтому пояснений не требуют.

Результатом выполнения программы являются временные и спектральные диаграммы аналогового и дискретного сигналов (рисунок 1.7).

По результатам моделирования должны быть сделаны выводы

· о соответствии восстановленного аналогового сигнала исходному сигналу на входе дискретизатора,

· о причинах искажений огибающей восстановленного сигнала по сравнению с огибающей исходного аналогового сигнала.

Рисунок 1.7 – Временные и спектральные диаграммы аналогового и дискретного сигналов при частоте несущей

f₀=36 МГц, частоте модуляции 0.5 МГц и частоте дискретизации F_Д=16МГц

2. Задание №2. Определение спектра восьмиточечной последовательности отсчетов сигнала с использованием алгоритмов БПФ с прореживанием во времени и с прореживанием по частоте и выполнение обратного преобразования

2.1. Содержание задания №2

2.1.1. Определение спектра последовательности x_n,

где n = 0,1,2..7, методом прямого дискретного преобразования Фурье

где , N=8, k=0,1,2..7.

2.1.2. Определение последовательности отсчетов сигнала x_n, где n = 0,1,2..7, по известной последовательности отсчетов спектра S_k, где k = 0,1,2..7, методом обратного дискретного преобразова- ния Фурье

где n = 0,1,2..7.

2.1.3. Определение спектра последовательности x_n, где

n = 0,1,2..7, методом БПФ с прореживанием во времени.

2.1.4. Определение последовательности отсчетов сигнала x_n, где n=0,1,2..7, по известной последовательности отсчетов спектра S_k, где k=0,1,2..7, методом БПФ с прореживанием во времени.

2.1.5. Определение спектра последовательности x_n, где

n = 0,1,2..7, методом БПФ с прореживанием по частоте.

2.1.6. Определение последовательности отсчетов сигнала x_n, где n=0,1,2..7, по известной последовательности отсчетов спектра S_k, где k=0,1,2..7, методом БПФ с прореживанием по частоте.

В таблице 2.1 приведены варианты восьмиточечных последовательностей.

Таблица 2.1

Номер варианта	Последовательность x0 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7
	3.000 3.707 4.000 3.707 3.000 2.293 2.000 2.293
	1.500 3.207 0.500 -2.207 -0.500 1.793 0.500 -0.793
	2.500 3.354 2.000 0.646 1.500 2.646 2.000 1.354
	1.500 3.354 1.000 -1.354 0.500 2.646 1.000 -0.646
	3.000 3.207 2.000 0.793 1.000 1.793 2.000 2.207
	2.500 2.914 0.500 -1.914 -1.500 0.086 0.500 0.914
	1.500 2.414 2.500 2.414 1.500 -0.414 -1,500 -0.414
	2.500 1.207 -0.500 1.207 2.500 -0.207 -2.500 -0.207
	3.000 2.354 1.500 2,354 3.000 1.646 0.500 1.646
	3.000 1.354 -0.500 1.354 3.000 0.646 -1.500 0.646
	2.500 2.707 2.500 2.707 2.500 1.293 0.500 1.293
	1.500 1.914 1.500 1.914 1.500 -0.914 -2.500 -0.914
	2.000 1.707 1.000 1.707 2.000 0.293 -1.000 0.293
	2.000 2.414 2.000 2.414 2.000 -0.414 -2.000 -0.414
	3.000 1.707 0 1.707 3.000 0.293 -2.000 0.293
	3.000 2.707 2.000 2.707 3.000 1.293 0 1.293
	4.000 4.414 4.000 4.414 4.000 1.586 0 1.586
	3.000 3.121 2.000 3.121 3.000 -1.121 -4.000 -1.121
	5.000 2.707 0 2.707 5.000 1.293 -2.000 1.293
	3.000 3.414 3.000 3.414 3.000 0.586 -1.000 0.586
	3.000 2.414 1.000 2.414 3.000 -0.414 -3.000 -0.414
	4.000 2.707 1.000 2.707 4.000 1.293 -1.000 1.293
	1.000 0.707 0 0.707 1.000 -0.707 -2.000 -0.707
	2.000 1.000 0 1.000 2.000 1.000 0 1.000
	1.000 1.707 0 -1.707 -1.000 0.293 0 -0.293
	1.000 2.000 1.000 0 1.000 2.000 1.000 0
	2.000 3.000 2.000 1.000 2.000 3.000 2.000 1.000
	3.000 2.414 1.000 -0.414 -1.000 -0.414 1.000 2.414
	1.000 2.707 0 -2.707 -1.000 1.293 0 -1.293
	1.000 3.000 1.000 -1.000 1.000 3.000 1.000 -1.000
	3.000 2.707 2.000 1.293 1.000 1.293 2.000 2.707
	2.000 2.414 0 -2.414 -2.000 -0.414 0 0.414

Продолжение таблицы 2.1

Номер варианта	Последовательность x0 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7
	0 1.707 1.000 -0.293 0 0.293 -1.000 -1.707
	1.000 2.414 3.000 2.414 1.000 -0.414 -1.000 -0.414
	0 2.707 1.000 -1.293 0 1.293 -1.000 -2.707
	1.000 5.414 3.000 -0.586 1.000 2.586 -1.000 -3.414
	3.000 5.707 4.000 1.707 3.000 4.293 2.000 0.293
	2.000 5.121 5.000 3.121 2.000 0.879 -1.000 -1.121
	1.000 5.121 4.000 1.121 1.000 0.879 -2.000 -3.121
	2.000 5.707 3.000 -0.293 2.000 4.293 1.000 -1.707
	3.000 5.414 5.000 3.414 3.000 2.586 1.000 0.586
	1.000 4.414 3.000 0.414 1.000 1.586 -1.000 -2.414
	2.000 4.707 3.000 0.707 2.000 3.293 1.000 -0.707
	2.000 4.414 4.000 2.414 2.000 1.586 0 -0.414
	2.000 0.707 -1.000 -0.707 0 -0.707 -1.000 0.707
	2.000 1.000 0 1.000 2.000 1.000 0 1.000
	4.000 2.414 0 -0.414 0 -0.414 0 2.414
	4.000 1.707 -1.000 0.293 2.000 0.293 -1.000 1.707
	3.000 2.000 1.000 2.000 3.000 2.000 1.000 2.000
	3.000 1.707 0 0.293 1.000 0.293 0 1.707

2.2. Методические указания по выполнению задания №2

2.2.1. Выполните вручную расчет одного отсчета спектра сигнала (например, S₁) и убедитесь в его трудоемкости.

Определите спектр последовательности отсчетов сигнала x_n, воспользовавшись программой «Прямое ДПФ» (Приложение В).

В программу вводится количество отсчетов сигнала N и через запятую члены последовательности отсчетов сигнала x.

Результат выполнения программы выдается в командном окне программы в виде последовательности отсчетов спектра, спектра амплитуд и спектра фаз.

Постройте график спектра амплитуд – зависимость модуля отсчета спектра от порядкового номера отсчета k.

Постройте график спектра фаз – зависимость аргумента φ_k отсчета спектра от порядкового номера отсчета k.

2.2.2. Определите последовательность отсчетов сигнала, введя определенную в п.2.2.1 последовательность отсчетов спектра в программу «Обратное ДПФ» (Приложение Г).

При вводе в программу последовательности отсчетов спектра S учтите, что символом мнимой единицы является %i. Результат выполнения программы наблюдается в командном окне Scilab.

2.2.3. Определите последовательность отсчетов сигнала на входах двухточечных «бабочек» БПФ, руководствуясь таблицей 1 и рисунком 2.1.

Таблица 1

Индекс исходной последоватнльности	Индекс последовательности после двоичной инверсии
Десятичная СС	Двоичная СС	Двоичная СС	Десятичная СС

Рисунок 2.1

2.2.4. Определите последовательность отсчетов спектра сигнала по алгоритму прямого БПФ с прореживанием во времени (рисунок 2.2).

На рисунке 2.2 наряду с бабочками БПФ показаны прямоугольные поля для записи входной последовательности (левое поле), выходной последовательности (правое поле) и промежуточных вычислений.

2.2.5. Сформируйте из последовательности отсчетов спектра, полученной в 2.2.4, последовательность на входах четырех двухточечных «бабочек» в соответствии с таблицей 1 и рисунком 2.1.

2.2.6. Определите последовательность отсчетов сигнала по алгоритму обратного БПФ с прореживанием во времени, используя в качестве входной последовательности отсчетов спектра результат выполнения п.2.2.5.

Алгоритм обратного БПФ отличается от алгоритма прямого БПФ тем, что последовательности отсчетов сигнала заменяются на последовательности отсчетов спектра и наоборот, поворачивающие множители заменяются на комплексно сопряженные и полученные на выходе значения отсчетов сигнала делятся на N=8 (рисунок 2.3).

2.2.7. Определите последовательность отсчетов спектра сигнала, воспользовавшись алгоритмом прямого БПФ с прореживанием по частоте (рисунок 2.4) и подав на вход первой бабочки исходную последовательность отсчетов сигнала.

2.2.8. Скорректируйте результат п.2.2.7, используя двоичную инверсию индексов последовательности п.2.2.7 (рисунок 2.1).

2.2.9. Определите последовательность отсчетов сигнала, воспользовавшись алгоритмом обратного БПФ с прореживанием по частоте (рисунок 2.5) и подав на вход первой бабочки последовательность отсчетов спектра, найденную в 2.2.8.

2.2.10. Скорректируйте результат п.2.2.9, используя двоичную инверсию индексов последовательности п.2.2.9 (рисунок 2.1).

Рисунок 2.2 – Алгоритм прямого БПФ с прореживанием

во времени

Примечание: результаты выполнения последней бабочки

делятся на N=8

Рисунок 2.3 – Алгоритм обратного БПФ с прореживанием

во времени

Рисунок 2.4 – Алгоритм прямого БПФ с прореживанием

по частоте

Примечание: результаты на выходах двухточечных бабочек

делятся на N=8

Рисунок 2.5 – Алгоритм обратного БПФ с прореживанием

по частоте

3. Пример выполнения задания 2.

Задана последовательность отсчетов дискретного сигнала x_n

(n = 0, 1,..7), представленная в виде матрицы – строки:

1. Определим прямое дискретное преобразование Фурье этой последовательности.

где , N = 8, k=0,1,2..7.

В качестве примера расчета определим

Учтем, что

Тогда

Определим спектр заданной последовательности по программе «Прямое ДПФ»:

,

Спектр амплитуд:

Спектр фаз:

Спектры амплитуд и фаз приведены на рисунках 2.6 и 2.7 соответственно.

Рисунок 2.6 – Спектр амплитуд

Рисунок 2.7 – Спектр фаз

2. Определим последовательность отсчетов дискретного сигнала по её спектру

.

Воспользовавшись программой «Обратное ДПФ», получим

3. Воспользуемся алгоритмом прямого БПФ с прореживанием во времени для исходной последовательности

Выполним перестановку членов этой последовательности с учетом двоичной инверсии индексов (рисунок 2.1). В результате получим

Воспользовавшись алгоритмом прямого БПФ с прореживанием во времени (рисунок 2.2), выполним операции «бабочка»: на первом уровне – 4 двухточечных «бабочки», на втором уровне – 2 четырёхточечных, на третьем уровне – одна восьмиточечная (рисунок 2.8).

4. Выполним перестановку членов полученной последовательности отсчетов спектра с учетом двоичной инверсии индексов. В результате получим

Подадим эту последовательность на входы двухточечных бабочек рисунка 2.3 и выполним вычисления. Результат приведён на рисунке 2.9.

5. Воспользуемся алгоритмом БПФ с прореживанием по частоте для определения прямого преобразования последовательности

Согласно алгоритму прямого БПФ с прореживанием по частоте (рисунок 2.4), выполним операции «бабочка»: на первом уровне – одна восьмиточечная «бабочка», на втором уровне – 2 четырёхточечных, на третьем уровне – четыре двухточечных (рисунок 2.10).

Выполним перестановку членов полученной последовательности с учетом двоичной инверсии индексов (рисунок 2.1).

В результате получим

6. По алгоритму рисунка 2.5 выполним обратное преобразование последовательности отсчетов спектра

.

Результатом этой операции является последовательность отсчетов дискретного сигнала (рисунок 2.11)

Выполнив перестановку членов этой последовательности с учетом двоичной инверсии индексов, получим

3. Задание №3.Определение системной функции,

комплексного коэффициента передачи, АЧХ и ФЧХ

цифрового фильтра

3.1. Содержание задания

Требуется:

· Определить системную функцию цифрового фильтра H(z),

· Найти комплексный коэффициент передачи K(jθ) фильтра, где θ = 2π f_N, f_N=f/F_Д – нормированная частота,

· Рассчитать АЧХ и ФЧХ фильтра,

· Проверить результаты расчета АЧХ и ФЧХ, воспользовавшись программой «Расчет АЧХ и ФЧХ_1»,

· Построить графики АЧХ K(f_N) и ФЧХ φ(f_N),

В таблице 3.1 заданы значения коэффициентов системных функций цифровых фильтров, алгоритмы функционирования которых приведены на рисунках 3.1 – 3.10.

Две первые цифры варианта задания соответствуют номеру рисунка, а третья цифра определяет вариант числовых значений коэффициентов для данного фильтра.

Таблица 3.1

Номер варианта задания	Коэффициенты системной функции фильтра
3.1.1	A11 = - 0.309 A12 = A11 M1 = - 0.846 M2 = 0.951
3.1.2	A11 = 0.309 A12 = A11 M1 = - 0.846 M2 = 0.951
3.1.3	A11 = - 0.588 A12 = A11 M1 = - 0.685 M2 = 0.809
3.1.4	A11 = 0.588 A12 = A11 M1 = - 0.685 M2 = 0.809
3.1.5	A11 = - 1 A12 = - 0.500 M1 = - 2 M2 = 0.200

Продолжение таблицы 3.1

Номер варианта задания	Коэффициенты системной функции фильтра
3.1.6	A11 = 1 A12 = 0.500 M1 = - 2 M2 = 0.200
3.2.1	A11 = - 0.309 A12 = A11 M1 = - 0.846 M2 = 0.951
3.2.2	A11 = 0.309 A12 = A11 M1 = - 0.846 M2 = 0.951
3.2.3	A11 = - 0.588 A12 = A11 M1 = - 0.685 M2 = 0.809
3.2.4	A11 = 0.588 A12 = A11 M1 = - 0.685 M2 = 0.809
3.2.5	A11 = - 1 A12 = - 0.500 M1 = - 2 M2 = 0.200
3.2.6	A11 = 1 A12 = 0.500 M1 = - 2 M2 = 0.200
3.3.1	M = 0.010 N = 2 A11 = 0.100 A12 = - A11 A2 = 0.900
3.3.2	M = 0.150 N = 2 A11 = 0.200 A12 = - A11 A2 = 0.500
3.3.3	M = 0.005 N = 2 A11 = 0.100 A12 = - A11 A2 = 0.950
3.3.4	M = 0.004 N = 2 A11 = 0.200 A12 = - A11 A2 = 0.800
3.3.5	M = 0.050 N = 6 A11 = - 0.100 A12 = - A11 A2 = 0.700
3.4.1	M = 0.020 A20 = 0.500 A11= 0.200 A12 = -A11 A21 = 0.900 A22 = A21
3.4.2	M = 0.063 A20 = 0.500 A11 = 0.300 A12 = - A11 A21 = 0.800 A22 = A21
3.4.3	M = 0.140 A20 = 0.300 A11 = 0.200 A12 = - A11 A21 = 0.600 A22 = A21
3.4.4	M = 0.224 A20 = 0.140 A11 = 0.100 A12 = - A11 A21 = 0.500 A22 = A21

Продолжение таблицы 3.1

Номер варианта задания	Коэффициенты системной функции фильтра
3.4.5	M = 0.010 A20 = 0.800 A11 = 0.200 A12 = -A11 A21 = 0.900 A22 = A21
3.4.6	M = 0.280 A20 = 0.500 A11 = 0.700 A12 = - A11 A21 = 0.700 A22 = A21
3.5.1	M = (1+A10)(1+A11)(1+A12) A10 = -0.8 A11=-0.8 A12 = -0.8
3.5.2	M = (1-A10)(1-A11)(1-A12) A10 = 0.8 A11= 0.8 A12 = 0.8
3.5.3	M = (1+A10)(1+A11)(1+A12) A10 = -0.9 A11=-0.8 A12= -0.7
3.5.4	M = (1-A10)(1-A11)(1-A12) A10 = 0.9 A11=0.8 A12 = 0.7
3.5.5	M = (1+A10)(1+A11)(1+A12) A10 = - 0.75 A11 = - 0.60 A12 = - 0.70 A12= - 0.7
3.5.6	M = (1-A10)(1-A11)(1-A12) A10 = 0.75 A11=0.60 A12 = 0.70
3.6.1	M = (1+A10)(1+A11) A10 = - 0.8 A11= - 0.8
3.6.2	M = (1-A10)(1-A11) A10 = 0.8 A11= 0.8
3.6.3	M = (1+A10)(1+A11) A10 = - 0.9 A11= - 0.8
3.6.4	M = (1-A10)(1-A11) A10 = 0.9 A11=0.8
3.7.1	M = 0.500 b0 = b1 = b2 = 0 b3 = 1
3.7.2	M = 0.140 b0 = b1 = b2 = b3=1
3.7.3	M = 0.880 b0 = 0.500 b1 =0 b2 = - 0.318 b3 = 0
3.7.4	M = 0.880 b0 = 0.500 b1 =0 b2 = 0.318 b3 = 0

Продолжение таблицы 3.1

Номер варианта задания	Коэффициенты системной функции фильтра
3.7.5	M = 0.856 b0 = 0.250 b1 = - 0.225 b2 = 0.159 b3 = - 0.075
3.7.6	M = 2.710 b0 = 0.125 b1 = 0 b2 = - 0.122 b3 = 0
3.8.1	A2 = 0.800 B11 = B12 = - 1.414 A11 = A12 = - 1.265 M1=M2 = 0.900
3.8.2	A2 = 0.800 B11 = B12 = 1.414 A11 = A12 = 1.265 M1=M2 = 0.900
3.8.3	A2 = 0.800 B11 = B12 = - 1 A11 = A12 = - 0.894 M1 = M2 = 0.900
3.8.4	A2 = 0.800 B11 = B12 = 1 A11 = A12 = 0.894 M1 = M2 = 0.900
3.8.5	A2 = 0.900 A11 = - 1.643 A12 = -A11 B11 = - 1.732 B12 = - B11 M1 = M2 = 0.955
3.8.6	A2 = 0.900 A11= - 1.342 A12 = -A11 B11= - 1.414 B12= - B11 M1= M2 = 0.950
3.8.7	A2 = 0.7 A11 = - 0.041 A12 = -A11 B11= - 0.049 B12 = - B11 M1 = M2 = 0.850
3.8.8	A2 = 0.900 A11 = -1.643 A12 =0 B11 = -1.732 B12 = 0 M1 = M2 = 0.954
3.9.1	A1= 0.200 A2 = 0.700 M=0.210
3.9.2	A1= 0 A2 = 0.700 M = 0.150
3.9.3	A1= 0.100 A2 = 0.900 M = 0.530
3.9.4	A1= - 0.3 A2 = 0.5 M = 0.33
3.10.1	M=0.820 B1=0 A1= 0 A2 = 0.800
3.10.2	M = 0.950 B1= 0 A1= 0 A2 = 0.950

Продолжение таблицы 3.1

Номер варианта задания	Коэффициенты системной функции фильтра
3.10.3	M = 0.815 B1=0.618 A1= 0.553 A2= 0.800
3.10.4	M=0.905 B1= 0 A1= 0 A2 = 0.900
3.10.5	M = 0.903 B1 = -0.618 A1 = - 0.586 A2 = 0.900
3.10.6	M = 0.816 B1 = 0.5 A1 = 0.447 A2 = 0.800

Рисунок 3.1

Рисунок 3.2

Рисунок 3.3

Рисунок 3.4

Рисунок 3.5

Рисунок 3.6

Рисунок 3.7

Рисунок 3.8

Рисунок 3.9

Рисунок 3.10

2.2. Примеры выполнения задания №3

Пример №1.

Задан алгоритм функционирования цифрового фильтра (рисунок 3.11). Коэффициент равен А = 0.9.

Требуется:

· Определить системную функцию цифрового фильтра H(z),

· Найти комплексный коэффициент передачи K(jθ) фильтра, где θ = 2π f_N, f_N=f/F_Д – нормированная частота,

· Рассчитать АЧХ и ФЧХ фильтра,

· Проверить результаты расчета АЧХ и ФЧХ, воспользовавшись программой «Расчет АЧХ и ФЧХ_1»,

· Построить графики АЧХ K(f_N) и ФЧХ φ(f_N),

Рисунок 3.11 – Графическое представление алгоритма

функционирования фильтра

1. Из рисунка видно, что

2.Воспользовавшись свойствами Z-преобразования, перейдем от разностных уравнений к уравнениям для Z-преобразований дискретных сигналов v_n, x_n, y_n

.

Выразим V(z) через X(z)

Подставляя V(z) во второе уравнение, получим

Разделив Y(z) на X(z), получим системную функцию цифрового фильтра

3. Для нахождения комплексного коэффициента передачи фильтра подставим в выражение системной функции , где j – мнимая единица, - нормированная частота

4. Определим АЧХ фильтра

или

Построим график АЧХ (рисунок 3.12) при изменении f_N от 0 до 0.5 с шагом 0.0001. Принятый интервал изменения f_N соответствует интервалу частот от 0 до . Для любой частоты внутри этого интервала выполняется теорема Котельникова.

Из графика АЧХ следует, что данный фильтр является режекторным. Его коэффициент передачи равен нулю при f_N =0.25, т.е. на частоте, равной четверти частоты дискретизации.

5. Определим ФЧХ фильтра

где

или

Рисунок 3.12 – АЧХ фильтра

или

или

Графики ,и приведены на рисунке 3.13, а результирующая ФЧХ показана на рисунке 3.14.

Фазочастотные характеристики принято представлять в пределах интервала от до . В рассмотренном случае фазовый сдвиг, вносимый фильтром, не выходит за пределы этого интервала. Поэтому полученный результат следует считать окончательным.

Рисунок 3.13 - Составляющие ФЧХ фильтра

Рисунок 3.14 – ФЧХ фильтра

Для проверки правильности определения АЧХ и ФЧХ можно воспользоваться программой, приведенной в Приложении Д. Имя программы: Расчет АЧХ и ФЧХ_1.

В строке 2 осуществляется ввод параметра A. При большем количестве исходных данных увеличится количество строк ввода.

В строке 3 задается шаг изменения нормированной частоты delta_f, а в строке 4 диапазон изменения нормированной частоты от 0 до 0.5 с шагом delta_f.

Затем в цикле по порядковому номеру расчетной точки m рассчитываются значения комплексной переменной z, системной функция H, АЧХ K(m) и ФЧХ phi(m).

Строки 12-20 организуют вывод графиков АЧХ и ФЧХ.

В среде Scilab основание натурального логарифма e записывается в виде %e, мнимая единица - %i, число π - % pi. Эти идентификаторы используются в строке 7 при записи выражения для z.

Чтобы воспользоваться данной программой при расчете других фильтров, нужно заменить строку 8, а вместо строки 2 ввести свои исходные данные.

Результаты расчета АЧХ по программе приведены на рисунке 3.15.

Результаты, представленные на рисунках 3.12, 3.14 и 3.15, совпадают с учетом того, что на рисунке 3.14 фазовый сдвиг приведен в радианах, а на рисунке 3.15 в градусах.

Рисунок 3.15 – АЧХ и ФЧХ фильтра

Пример №2

Задана линия задержки, состоящая из трех элементов (рисунок 3.16).

Рисунок 3.16 – Цифровая линия задержки

Требуется определить системную функцию H(z), комплексный коэффициент передачи K(jθ), АЧХ K(f_N) и ФЧХ φ(f_N) цифрового фильтра, где θ = 2π f_N, f_N=f/F_Д - нормированная частота.

Построить графики АЧХ и ФЧХ

1. Из рисунка следует, что

Выразим Z-преобразование выходного сигнала линии задержки через Z - преобразование входного сигнала

Системная функция определяется следующим соотношением

2.Определим комплексный коэффициент передачи, используя подстановку

3. Найдем АЧХ линии задержки (рисунок 3.17)

Рисунок 3.17 - АЧХ линии задержки

4. Определим ФЧХ линии задержки

Из выражения для комплексного коэффициента передачи следует, что его аргумент равен

Полученная зависимость показана на рисунке 3.18.

Из рисунка видно, что выходит за пределы принятого интервала. Причем максимальное отклонение от заданного интервала равно -2. Чтобы привести ФЧХ в интервал от - π до π к нужно прибавить 2 π при .

Рисунок 3.18 – ФЧХ линии задержки без приведения

в интервал от –π до π

Последнее соотношение справедливо, если абсолютная величина отклонения ФЧХ от принятого интервала не превышает 2 π. Если после выполнения указанной процедуры ФЧХ еще не войдет в пределы установленного интервала, то указанную операцию нужно повторить, приняв полученную функцию за .

После выполнения указанной процедуры получим окончательный вариант ФЧХ (рисунок 3.19).

Рисунок 3.19 – ФЧХ фильтра

Проверим результаты расчета АЧХ и ФЧХ, воспользовавшись программой «Расчет АЧХ и ФЧХ_1». Для этого в строку 8 введем H = z^(-3). Результат расчета приведен на рисунке 3.20. Он соответствует результатам расчета, представленным на рисунках 3.18 и 3.19. На рисунке 3.19 фазовый сдвиг измеряется в радианах, а на рисунке 3.20 – в градусах.

Рисунок 3.20 – АЧХ и ФЧХ фильтра

Текст использованной Вами программы с Вашими данными должен быть в пояснительной записке в качестве приложения.

4. Задание №4.Синтез нерекурсивного цифрового ФНЧ с линейной ФЧХ и гауссовской АЧХ методом ряда Фурье. Моделирование фильтра при действии на его входе полезного сигнала и помехи

4.1. Содержание задания №4

4.1.1. Требуется выполнить синтез цифрового фильтра с линейной ФЧХ и АЧХ, выражаемой функцией Гаусса. Такие фильтры используются, например, при формировании сигналов гауссовской минимальной частотной манипуляции GMSK, применяемых в системе подвижной сотовой связи GSM.

Требуемая АЧХ фильтра выражается следующим соотношением

где f_N – нормированная частота – отношение абсолютного значения частоты f к частоте дискретизации F_Д, σ – неравномерность АЧХ в полосе пропускания – отношение максимального коэффициента передачи фильтра K_max к минимальному K_min в пределах полосы пропускания. Для гауссовской АЧХ

На рисунке 4.1 показана гауссовская АЧХ в интервале нормированных частот от нуля до 0.5 с использованием линейного масштаба по оси ординат при и f_Ng = 0.05. Пунктирная прямая, параллельная оси абсцисс, проведена на уровне Абсцисса точки пересечения пунктирной прямой с АЧХ дает значение нормированной граничной частоты фильтра.

Рисунок 4.1 – АЧХ, описываемая функцией Гаусса

Параметры σ и f_Ng являются исходными данными для синтеза фильтра. Их значения приведены в таблице 4.1.

Реальная АЧХ отличается от идеальной пульсациями в полосе задерживания. Максимальный уровень пульсаций задаётся параметром δ_m, приведенным в таблице 4.1.

4.1.2. Требуется выполнить моделирование процесса фильтрации при действии на входе фильтра полезного сигнала и помехи.

Полезный сигнал представляет собой случайную последовательность элементарных посылок с уровнями 1 и -1. Количество отсчетов в элементарной посылке равно n0.

Помеха представляет собой синусоидальное колебание с амплитудой Xp, нормированной частотой f_Np. Параметры n0, Xp и f_Np приведены в таблице 4.1.

4.2. Методические указания по выполнению задания №4

На рисунке 4.2 дано графическое представление алгоритма реализации нерекурсивного цифрового фильтра с линейной ФЧХ. Лин

Дата добавления: 2014-10-23