Свойства матриц поворота

Геометрический смысл матриц поворота

Пусть точка p в системе отсчёта OUVW имеет координаты (1, 0, 0), т. е. p _uvw = i _u. Тогда первый столбец матрицы поворота представляет собой координаты этой точки относительно системы отсчёта OXYZ. Аналогично, выбирая в качестве p векторы (0, 1, 0) ^Т и (0, 0, 1) ^Т, легко видеть, что второй и третий столбцы матрицы поворота представляют собой координаты единичных векторов в направлении осей OV и OW системы OUVW относительно системы отсчёта OXYZ.

Таким образом, если заданы абсолютная система отсчёта OXYZ и матрица поворота, то векторы-столбцы этой матрицы задают в системе OXYZ координаты единичных векторов в направлении основных осей системы OUVW. Это позволяет определить положение осей системы координат OUVW относительно абсолютной системы координат. Таким образом, матрица поворота определяет положение основных осей повёрнутой системы координат относительно абсолютной системы координат.

Поскольку операция обращения матрицы поворота совпадает с операцией транспонирования, то векторы – строки матрицы поворота задают направление основных осей абсолютной системы координат OXYZ в повёрнутой системе координат OUVW.

Такая геометрическая интерпретация матрицы поворота даёт ключ к решению многих задач кинематики манипулятора.

1. Каждый столбец матрицы поворота представляет собой единичный вектор в направлении соответствующей оси повёрнутой системы отсчёта, заданной своими координатами относительно абсолютной системы координат.

Каждая строка матрицы поворота представляет собой единичный вектор в направлении соответствующей оси абсолютной системы координат, заданной своими координатами относительно повёрнутой системы отсчёта OUVW.

2.Поскольку каждый столбец и строка представляет собой координаты единичного вектора, длина векторов, определяемых строками и столбцами матрицы поворота, равна 1. Детерминант матрицы поворота равен +1 для правосторонней системы отсчёта и -1 – для левосторонней.

3.Поскольку столбцы (строки) матрицы поворота являются векторами, составляющими ортонормированный базис, скалярное произведение векторов, определяемых двумя различными столбцами (строками), равно нулю.

4.Операция обращения матрицы поворота совпадают с операцией транспонирования: R ^-1 = R ^T и RR ^T = I ₃, где I ₃ – единичная матрица размерностью 3´3.

Свойства 3 и 4 особенно полезны для проверки результатов умножения двух матриц поворота и при поиске строки или столбца матрицы поворота, в котором сделана ошибка.

Дата добавления: 2014-10-23