Свойства выборочного коэффициента корреляции Спирмена

1. Если между А и В имеется «полная прямая зависимость», то есть ранги совпадают при всех i, то ρ_В = 1. Действительно, при этом d_i = 0, и из формулы (21.4) следует справедливость свойства 1.

2. Если между А и В имеется «противоположная зависимость», то ρ_В = - 1. В этом случае, преобразуя d_i = (2 i – 1) – n, найдем, что , тогда из

3. В остальных случаях -1 < ρ_B < 1, причем зависимость между А и В тем меньше, чем ближе | ρ_B | к нулю.

Итак, требуется при заданном уровне значимости α проверить нулевую гипотезу о равенстве нулю генерального коэффициента ранговой корреляции Спирмена ρ_г при конку-рирующей гипотезе Н ₁: ρ _г ≠ 0. Для этого найдем критическую точку:

,

где п – объем выборки, ρ_В – выборочный коэффициент ранговой корреляции Спирмена, t_кр (α, k) – критическая точка двусторонней критической области, найденная по таблице критических точек распределения Стьюдента, число степеней свободы k = n – 2.

Тогда, если | ρ_B | < T_кр, то нулевая гипотеза принимается, то есть ранговая корреляционная связь между признаками незначима.

Если | ρ_B | > T_кр, то нулевая гипотеза отвергается, и между признаками существует значимая ранговая корреляционная связь.

Можно использовать и другой коэффициент – коэффициент ранговой корреляции Кендалла. Рассмотрим ряд рангов у ₁, у ₂,…, у_п, введенный так же, как и ранее, и зададим величины R_i следующим образом: пусть правее у ₁ имеется R ₁ рангов, больших у ₁; правее у ₂ – R ₂ рангов, больших у ₂ и т.д. Тогда, если обозначить R =R ₁ + R ₂ +…+ R_{n- 1}, то выборочный коэффициент ранговой корреляции Кендалла определяется формулой

где п – объем выборки.

Замечание. Легко убедиться, что коэффициент Кендалла обладает теми же свойствами, что и коэффициент Спирмена.

Для проверки нулевой гипотезы Н ₀: τ_г = 0 (генеральный коэффициент ранговой корреляции Кендалла равен нулю) при альтернативной гипотезе Н ₁: τ_г ≠ 0 необходимо найти критическую точку:

,

где п – объем выборки, а z_кр – критическая точка двусторонней критической области, определяемая из условия по таблицам для функции Лапласа.

Если | τ_B | < T_кр, то нулевая гипотеза принимается (ранговая корреляционная связь между признаками незначима).

Если | τ_B | > T_кр, то нулевая гипотеза отвергается (между признаками существует значимая ранговая корреляционная связь).

Дата добавления: 2014-10-23