Уравнения двух плоскостей, задающих прямую линию в пространстве

Уравнения прямой в пространстве - это уравнения двух пересекающихся плоскостей.

Пусть в трехмерном пространстве зафиксирована прямоугольная система координат Oxyz и пусть даны две пересекающиеся и несовпадающие плоскости и . Так как любую плоскость в прямоугольной системе координат Oxyz определяет общее уравнение плоскости вида при некотором наборе значений А, В, С и D, то будем считать, что плоскостям и соответствуют уравнения и . Тогда - нормальный вектор плоскости , а - нормальный вектор плоскости . Эти векторы не коллинеарны, так как плоскости и не совпадают и не параллельны. На языке математики это условие запишется как . Обозначим буквой a прямую, по которой пересекаются плоскости и , то есть, .

Прямая а представляет собой множество всех общих точек плоскостей и . Следовательно, координаты любой точки прямой a удовлетворяют одновременно и уравнению и уравнению , то есть, являются частным решением системы уравнений . Тогда общее решение системы линейных уравнений вида определяет координаты каждой точки прямой, по которой пересекаются плоскости и , а значит, определяет прямую a в прямоугольной системе координат Oxyz в пространстве.

Приведем пример прямой в пространстве, которая задана уравнениями двух пересекающихся плоскостей.

Очевидно, что координатная прямая Ox является прямой, по которой пересекаются координатные плоскости Oxy и Oxz. Плоскость Oxy задается уравнением z = 0, а плоскость Oxz уравнением y = 0. Таким образом, координатная прямая Ox в прямоугольной системе координат Oxyz определяется системой из двух уравнений следующего вида .

Дата добавления: 2014-10-31