Элементы аналитической геометрии на плоскости

Уравнение линии на плоскости

Пусть на плоскости задана система координат. Рассмот­рим уравнение вида

Говорят,что уравнение (3.9) определяет (задает) линию L в системе координат Оху. Вообще говоря, линии на координат­ной плоскости могут быть самыми различными.

Линии первого порядка

К линиям первого порядка относятся те линии, для кото­рых задающее их уравнение (3.9) содержит переменные x и у только в первой степени. Иными словами, такие линии описы­ваются уравнениями вида

где А, В и С — постоянные числа. Из этого уравнения можно выразить переменную у как функцию от аргумента х при В ≠ 0:

Уравнение (3.11) называют уравнением прямой с угловым ко­эффициентом k = tg φ, где φ — угол наклона прямой к положительному направлению оси Ох (рис. 3.9). Если k = 0, то прямая параллельна оси Ох и отстоит от нее на b масштабных единиц.

Рис. 3.9

Определим самые необходимые элементы знания о прямых на плоскости.

1. Кроме "классического" уравнения прямой (3.11) следует знать еще две его разновидности. Первая из них — это уравне­ние прямой с заданным угловым коэффициентом k, проходящей через заданную точку М ₀(x ₀, у ₀):

Другой вид — это уравнение прямой, проходящей через две заданные точки на плоскости M ₁(x ₁, y ₁) и М ₂ (х ₂, у ₂ ):

2. Угол между прямыми. Рассмотрим две прямые, заданные уравнениями у = k₁x + b₁ и у = k₂x + b 2, где k₁ = tg φ₁ и k₂ = tg φ₂ (рис. 3.10). Пусть φ — угол между этими прямы­ми. Тогда φ = φ₂ — φ₁ и мы получаем tg φ = tg (φ₂ — φ₁) = или, что то же самое,

Рис. 3.10

Формула (3.12) определяет один из углов между пересекающи­мися прямыми; второй угол равен π - φ.

Из равенства (3.12) вытекают условия параллельности и перпендикулярности прямых. В самом деле, если прямые па­раллельны, то

Если прямые перпендикулярны, то α₂ = π/2 + α₁, откуда tg α₂ = -ctg α₁ = -1 / tg α₁, или окончательно

Пример 1. Найти угол между прямыми, заданными уравне­ниями у = 2 x - 5 и у = -3 x + 4.

Решение. Подставляя в формулу (3.12) значения k₁ = 2 и k₂ = -3, имеем

откуда получаем, что один из углов равен φ = π / 4.

3. Расстояние от точки до прямой. Пусть прямая за­дана уравнением общего вида (3.10). Тогда расстояние d отпроизвольной точки М ₀(x ₀, y ₀) до прямой (рис. 3.11)даетсяформулой

Рис. 3.11

Линии второго порядка

Рассмотрим здесь три наиболее используемыxвида линий:эллипс, гиперболу и параболу.

1. Эллипс. Линия, для всех точек которой сумма рассто­яний от двух данных точек, называемых фокусами, есть вели­чина постоянная и большая, чем расстояние между фокусами, называется эллипсом.

Согласно определению эллипса, сумма расстояний от произвольной точки М на этой линии до его фокусов F₁ и F₂ по­стоянна (рис. 3.12):

Рис. 3.12

Отсюда можно вывести уравнение эллипса в его основной (канонической) форме:

где а и b — полуоси эллипса, b ² = а ² — с ², точка O (0,0) — центр эллипса, с — половина расстояния между фокусами эл­липса. Из уравнения (3.13) следует, что оси эллипса являются его осями симметрии, а точка их пересечения — центром его симметрии.

В частном случае, когда a = b, фокусы эллипса сливаются, т.е. с = 0, и мы имеем окружность радиуса а с центром в начале координат. Характеристикой эллипса, показывающей меру его вытянутости, является эксцентриситет — величина, определяемая отношением

2. Гипербола. Гиперболой называется линия, для всех то­чек которой модуль разности расстояний от двух данных то­чек, называемых фокусами, есть величина постоянная и мень­шая, чем расстояние между фокусами.

На рис. 3.13 показаны все основные элементы гиперболы. Разность расстояний от произвольной точки М на гиперболе до фокусов F₁ и F₂, согласно определению, есть величина по­стоянная:

Из этой основной предпосылки выводится каноническое урав­нение гиперболы, которое имеет вид

где b ² = с ² — а ².

Нетрудно видеть, что прямые у = ±х являются наклонными асимптотами гиперболы. Линия (3.14) имеет две оси сим­метрии, точка пересечения которых является центром симмет­рии гиперболы.

3. Парабола. Параболой называется линия, все точки ко­торой находятся на одинаковом расстоянии от данной точки, называемой фокусом, и от данной прямой, называемой дирек­трисой и не проходящей через фокус.

Согласно определению, точка М(х, у) лежит на параболе, если r₁ = r₂. Отсюда и выводится каноническое уравнение параболы, которое имеет вид

График параболы (3.15) показан на рис. 3.14. Нетрудно видеть, что перемена осей координат приводит к более привычному уравнению параболы вида у = Ах², где А — постоянное число.

Рис. 3.14

Дата добавления: 2014-10-15