Рациональная функция от sin х и cos х

Рассмотрим интеграл вида

где R — рациональная функция. Этот интеграл рационализи­руется универсальной подстановкой

Действительно,

Подстановка формул (6.5) в интеграл (6.4) дает

где R₁(t) — другая рациональная функция аргумента t. Рас­смотрим примеры вычисления интегралов, содержащих рацио­нальные функции от sin x и cos x.

Решение. Подставляя сюда формулы (6.5), после очевид­ных упрощений получаем

Пример 12. dx, т и п — натуральные числа.

Решение. Универсальная подстановка приведет здесь к громоздким выкладкам; гораздо удобнее применить метод за­мены переменной. В зависимости от четности m и п употреби­мы три следующих варианта.

1) m — четное, n — нечетное, подстановка t = sin x.

2) т — нечетное, n — четное; подстановка t = cos x.

3) m и n — оба нечетные; любая из двух подстановок 1 или 2.

4) m и п — оба четные; понизить степени тригонометри­ческих функций и в полученной сумме проверить каждое сла­гаемое по пп. 1-3.

Например, найти интеграл dx.

Согласно п. 2 выполним подстановку t = cos x; тогда dt = - sin x dx, sin⁴ x = (1 — t ²)²; отсюда имеем

Рациональная функция от е^x

Интеграл вида

рационализируется подстановкой

Пример 13. Найти интеграл . Применяя подстановку (6.6), получим

Дата добавления: 2014-10-15