Основная формула интегрального исчисления

ТЕОРЕМА 4. Непрерывная на отрезке [ а, b ] функция f(x) имеет на этом отрезке первообразную. Одной из первооб­разных является функция

В формуле (7.8) переменная интегрирования обозначена буквой t, чтобы избежать путаницы с верхним переменным пределом х.

Поскольку всякая другая первообразная отличается от F(x) на постоянную величину, то связь между неопределенным и определенным интегралами имеет вид

где С — произвольная постоянная.

Согласно теореме 7.4 непрерывная на отрезке [ а, b ] функция f(x) имеет первообразную, которая определяется формулой

где С — некоторая постоянная. Подставляя в (7.9) х = а, с учетом свойства 1 определенного интеграла получаем

Тогда из (7.9) имеем

Полагая х = b, получаем формулу

Равенство (7.10) называется основной формулой интег­рального исчисления, или формулой Ньютона-Лейбница.

Разность F(b) — F(a) условно записывают символом F(x) , т.е.

Формула (7.11) дает широкие возможности вычисления оп­ределенных интегралов. Нужно вычислить неопределенный ин­теграл и затем найти разность значений первообразной соглас­но (7.11). Рассмотрим примеры вычисления определенных ин­тегралов.

Дата добавления: 2014-10-15