КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Линейные уравнения первого порядка
Определение 7. Уравнение вида
где р(х) и q(x) — непрерывные функции, называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка. Неизвестная функция и ее производная входят в указанное уравнение в первой степени — линейно, что и объясняет название уравнения. Если q(x) 0, то уравнение (9.7) называется линейным однородным уравнением; если же функция q(x) не равна тождественно нулю, то уравнение (9.7) называется линейным неоднородным уравнением. Для линейного уравнения первого порядка можно выписать общее решение с помощью метода вариации постоянной. Здесь это решение приводится без вывода:
Следует отметить, что некоторые нелинейные уравнения приводятся к линейным уравнениям соответствующими заменами неизвестной функции у(х). К таковым относится уравнение Бернулли
где р и q — непрерывные функции, a n — некоторое постоянное число. При п = 0 имеем линейное неоднородное уравнение, а при n = 1 — линейное однородное уравнение
Пусть п ≠ 0, n ≠ 1. Введем новую функцию
тогда
Поделим обе части уравнения (9.9) на уn:
Умножая обе части этого уравнения на (1 — n), с учетом выражений для новой функции z и ее производной получаем линейное дифференциальное неоднородное уравнение относительно неизвестной функции z(x):
В этом уравнении, метод решения которого нам известен, функция z (x) связана с искомой функцией у (x) соотношением (9.10). Рассмотрим примеры решения неоднородных уравнений первого порядка.
Решение. Это линейное неоднородное уравнение первого порядка. Последовательное интегрирование в формуле (9.8) при р(х) = x 2 и q(x) = х 2 дает
(этот интеграл берется с помощью подстановки t = х 3 в формулу (9.8)). Получаем решение дифференциального уравнения:
Решение. Тот же прием, что и в предыдущем примере, при р(х) = 1 /х и q(x) = eх дает нам решение
Решение. Данное нелинейное уравнение представляет собой уравнение Бернулли при п = 3. Заменой искомой функции z = у- 2, согласно (9.10) и (9.11), получим линейное неоднородное уравнение относительно z(х)
По формуле (9.8) получаем общее решение этого уравнения:
Теперь, выполняя обратную замену у = ±1/, получаем решение исходного нелинейного уравнения:
Дата добавления: 2014-10-15; Просмотров: 343; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |