Аппроксимация кривых полиномами

4 16 40 48 36

8 30 56 38

3 0 - 2

Вычисление производных от полиномов

0 0 0 0 0

4 5 6

4 13 28 27 18

Умножение и деление полиномов

490 253 639

111 81 136

377 179 439

Polyval(p,5)

ans =

Можно также вычислить значение матричного полинома. Так, вместо полинома Валлиса мо-жно записать:

p(X) = X³ - 2X – 5I

где X является квадратной матрицей, а I - единичной матрицей. Например, сформируем сле-дующую квадратную матрицу X

X = [2 4 5; -1 0 3; 7 1 5];

и вычислим значение заданного выше полинома p(X) на данной матрице.

Y = polyvalm(p, X)

Y =

Для умножения и деления полиномов предназначены соответственно функции conv и deconv. Рассмотрим полиномы a(s) = s² + 2s + 3 и b(s) = 4s² + 5s + 6. Для вычисления их произведения следует ввести

a = [1 2 3]; b = [4 5 6];

c = conv(a,b)

MATLAB возвращает

c =

Для получения из с полинома b воспользуемся функцией deconv:

[q, r] = deconv(c, a)

q =

r =

где r – остаток после деления (в данном случае нулевой вектор). В общем случае для поли-номов q, r, c, a в функции deconv справедливо соотношение

c = conv(q, a) + r

Функция polyder вычисляет производную любого полинома. Для получения производной от нашего полинома p = [1 0 -2 -5], введем

q = polyder(p)

q =

Функция polyder вычисляет также производные от произведения или частного двух полино-мов. Например, создадим два полинома a и b:

a = [1 3 5]; b = [2 4 6];

Вычислим производную произведения a*b вводом функции polyder с двумя входными аргу-ментами a и b и одним выходным:

c = polyder(a, b)

c =

Вычислим производную от частного a/b путем ввода функции polyder с двумя выходными аргументами:

[q, d] = polyder(a, b)

q =

-2 -8 -2

d =

где отношение двух полиномов q/d является результатом операции дифференцирования.

Функция polyfit находит коэффициенты полинома заданной степени n, который аппрокси-мирует данные (или функцию y(x)) в смысле метода наименьших квадратов:

p = polyfit(x, y, n)

где x и y есть векторы, содержащие данные x и y, которые нужно аппроксимировать полино-мом. Например, рассмотрим совокупность данных x-y, полученную экспериментальным пу-тем

x = [1 2 3 4 5]; y = [5.5 43.1 128 290.7 498.4].

Аппроксимация функциональной зависимости y(x) в виде полинома третьего порядка

p = polyfit(x,y,3)

дает коэффициенты полинома

p =

-0.1917 31.5821 -60.3262 35.3400

Рассчитаем теперь значения полинома, полученного при помощи функции polyfit, на более мелкой шкале (с шагом 0.1) и построим для сравнения графики (это делает функция plot) реальных данных и аппроксимирующей кривой.

x2 = 1: 0.1: 5;

y2 = polyval(p, x2);

plot(x, y, 'o', x2, y2); grid on

где функция grid on служит для нанесения координатной сетки, а экспериментальные дан-ные на графике отмечены маркерами о.

.

Как видно из рисунка, полином третьего порядка достаточно хорошо аппроксимирует наши данные.

Дата добавления: 2014-10-15