Пример К1а

Кинематика

Задача К1

Под номером К1 помещены две задачи К1а и К1б, которые надо решить.

Задача К1а. Точка движется в плоскости (рис. К1.0–К1.9, табл. К1; траектория точки на рисунках показана условно). Закон движения точки задан уравнениями:,, где и выражены в сантиметрах, – в секундах.

Найти уравнение траектории точки; для момента времени с определить скорость и ускорение точки, а также ее касательное и нормальное ускорения и радиус кривизны в соответствующей точке траектории.

Рис. К1.0 Рис. К1.1 Рис. К1.2

Рис. К1.3 Рис. К1.4 Рис. К1.5

Рис. К1.6 Рис. К1.7 Рис. К1.8

Рис. К1.9

Зависимость указана непосредственно на рисунках, а зависимость дана в табл. К1 (для рис. К1.0– К1.2 в столбце 2, для рис. К1.3– К1.6 в столбце 3, для рис. К1.7– К1.9 в столбце 4).

Задача К1б. Точка движется по дуге окружности радиуса м по закону, заданному в табл. К1 в столбце 5 (– в метрах, – в секундах), где — расстояние точки от некоторого начала, измеренное вдоль дуги окружности. Определить скорость и ускорение точки в момент времени с. Изобразить на рисунке векторы и, считая, что точка в этот момент находится в положении, а положительное направление отсчета – от к.

Таблица К1

Номер условия
Рис. 0–2	Рис. 3–6	Рис. 7–9
	–6
	–3
				–2
			–4
				–3
			–3
	–2		–8	–2
	–8		–6	–2

Указания. Задача К1 относится к кинематике точки и решается с помощью формул, по которым определяются скорость и ускорение точки в декартовых координатах (координатный способ задания движения точки), а также формул, по которым определяются скорость, касательное и нормальное ускорения точки при естественном способе задания ее движения.

В задаче все искомые величины нужно определить только для момента времени с. В некоторых вариантах задачи К1а при определении траектории или при последующих расчетах (для их упрощения) следует учесть известные тригонометрические соотношения.

Даны уравнения движения точки в плоскости:

,

(, – в сантиметрах, – в секундах).

Определить уравнение траектории точки; для момента времени с найти скорость и ускорение точки, а также ее касательное и нормальное ускорения и радиус кривизны в соответствующей точке траектории.

Решение:

1. Для определения уравнения траектории точки исключим из заданных уравнений движения время. Поскольку входит в аргументы тригонометрических функций, где один аргумент вдвое больше другого, используем формулу

:

. (1)

Из уравнений движения находим выражения соответствующих функций и подставляем в равенство (1). Получим

,,

следовательно,

.

Отсюда окончательно находим следующее уравнение траектории точки (параболы, рис. К1,а):

. (2)

Рис. К1,а

2. Скорость точки найдем по ее проекциям на координатные оси:

,,

.

Для момента времени с:,,.

3. Аналогично найдем ускорение точки:

,,

.

Для момента времени с:,,. (4)

4. Касательное ускорение найдем, дифференцируя по времени равенство:

Получим

,

откуда

. (5)

Числовые значения всех величин, входящих в правую часть выражения (5), определены и даются равенствами (3) и,(4). Подставив в (5) эти числа, найдем сразу, что при с:.

5. Нормальное ускорение точки. Подставляя сюда найденные при с числовые значения и, получим, что.

6. Радиус кривизны траектории. Подставляя сюда числовые значения и при с, найдем, что см.

Ответ:,,,, см.

Дата добавления: 2014-10-31