Прямых измерений

Математический аппарат вычисления случайных ошибок

Методы вычисления погрешностей

Никакое измерение не дает истинного значения определяемой величины. Всякое измерение сопровождается той или иной ошибкой, или погрешностью. Поэтому недостаточно знать только результат измерения, необходимо еще определить величину допущенной погрешности. Погрешности делятся на систематические и случайные.

Систематические ошибкивозникают из-за неисправности или несовершенства измерительных приборов. Например, из-за смещения нуля измерительных приборов (амперметра, вольтметра и др.) все отсчеты будут искажены. Такие недостатки приборов изменяют результат измерений всегда в одну сторону, или увеличивая, или уменьшая его.

Систематические ошибки могут быть допущены также в процессе работы, если теория опыта недостаточно разработана и не учтены все причины, влияющие на точность измерений. Например, при определении сопротивления проводников, растворов не учтена поправка на температуру и т.д.

Систематические ошибки могут быть значительно уменьшены при более тщательном изучении приборов и устранения их недостатков, при более подробной разработке теории опыта и введении поправочных коэффициентов в результат измерений. Характерно, что увеличение числа измерений не уменьшит систематических ошибок.

Случайные ошибки вызываются неточностью отсчета, которую невольно допускает каждый экспериментатор. Например, недостаток органов зрения, органов слуха, реакции включения и выключения приборов отсчета времени и т.д.

В отличие от систематических случайные ошибки могут изменять результат измерений в обе стороны, т.е. увеличивать или уменьшать его. Поэтому для уменьшения влияния случайных ошибок необходимо всякое измерение проводить несколько раз (x ₁, х ₂, х ₃ ,..., х _n).

Случайные ошибки подчиняются законам вероятности. Это значит, если при каком-либо измерении получится результат больше истинного, то при следующих измерениях столь же вероятно может получиться результат меньше истинного. Очевидно, многократные повторения одного и того же измерения уменьшат влияние случайных ошибок, так как нет основания считать отклонение от истинного значения в одну сторону более вероятным, чем в другую, и среднее арифметическое из большого числа измерений будет ближе к истинному значению, чем отдельные измерения.

1. При измерении какой-либо величины получают ряд значений:

(x ₁, х ₂, х ₃ ,...,х _n). (1)

2. Вычисляют среднее арифметическое значение измеряемой величины:

. (2)

3. Вычисляют отклонения отдельного измерения от среднего арифметического значения, т.е. абсолютную ошибку:

(3)

4. Вычисляют среднее арифметическое численных значений отдельных абсолютных ошибок, т.е. среднюю абсолютную ошибку всех измерений записывают как:

. (4)

5. Тогда результат измерения:

. (5)

5. Отношение средней абсолютной ошибки всех измерений < Dх> к среднему арифметическому значению < x> измеряемых величин называется средней относительной ошибкой:

. (6)

Пример:

1. Пусть при n =3 измерений сопротивления проволоки с помощью прибора ЕС-11 получены следующие числовые значения (x ₁, х ₂, х ₃ ,...,х _n):

R ₁=5,0 Ом; R ₂ = 4,9 Ом; R ₃ = 5,1 Ом.

2. Найдем среднее арифметическое значение величины по формуле (2):

.

3. Вычислим абсолютные ошибки измерения по формуле (3):

4. Вычислим среднюю абсолютную ошибку по формуле (4):

.

5. Запишем результат измерения по формуле (5):

R =(5,0 0,07) Ом.

6. Определим относительную ошибку измерения по формуле (6):

.

Раздел 1. Механика

Дата добавления: 2014-10-31