Элементы квантовой механики

7.1. Определить импульс и энергию: 1) рентгеновского фотона; 2) электрона, если длина волны того и другого равна 10^-10м. Ответ: 1) р =6,63^.10^{-24 кг.}м/с, E =12,4 кэВ; 2) р = 6,63·10^{-24 кг.м/с, Е} = 151 эВ.

7.2. Определить длину волны де Бройля для электрона, находящегося в атоме водорода на третьей боровской орбите. Ответ: 1 нм.

7.3. Определить длину волны де Бройля для нейтрона, движущегося со средней квадратичной скоростью при Т = 290 К. Ответ: 148 пм.

7.4. Протон движется в однородном магнитном поле с индукцией B = 15 мТл по окружности радиусом R = 1,4 м. Определить длину волны де Бройля для протона. Ответ: 0,197 пм.

7.5. Определить, какую ускоряющую разность потенциалов должен пройти протон, чтобы длина волны де Бройля λ для него была равна 1 нм. Ответ: 0,821 мВ.

7.6. Заряженная частица, ускоренная разностью потенциалов U = 500 В, имеет длину волны де Бройля λ = 1,282 нм. Принимая заряд этой частицы равным заряду электрона, определить ее массу. Ответ: 1.672^.10^{-27 кг.}

7.7. Кинетическая энергия электрона равна 1 кэВ. Определить длину волны де Бройля. Ответ: 38,8 пм.

7.8. Кинетическая энергия электрона равна 0,6 МэВ. Определить длину волны де Бройля. Ответ: 1,26 пм.

7.9. Определить, при каком числовом значении скорости длина волны де Бройля для электрона равна его комптоновской длине волны. Ответ: υ = 2,12·10⁸ м/с.

7.10. Вывести связь между длиной круговой электронной орбиты и длиной волны де Бройля.

7.11. Определить, как изменится длина волны де Бройля электрона атома водорода при переходе его с четвертой боровской орбиты на вторую. Ответ: Уменьшится в 2 раза.

7.12. В опыте Дэвиссона и Джермера, обнаруживших дифракционную картину при отражении пучка электронов от естественной дифракционной решетки – монокристалла никеля, оказалось, что в направлении, составляющем угол α = 55° с направлением падающих электронов, наблюдается максимум отражения четвертого порядка при кинетической энергии электронов Т = 180 эВ. Определить расстояние между кристаллографическими плоскостями никеля. Ответ: d = h ^. k / (2 cos(α/2)) = 0,206 нм, k – порядок максимума.

7.13. Моноэнергетический пучок нейтронов, получаемый в результате ядерной реакции, падает на кристалл с периодом d = 0,15 мм. Определить скорость нейтронов, если брэгговское отражение первого порядка наблюдается, когда угол скольжения Θ = 30°. Ответ: 2,64 км/с.

7.14. Параллельный пучок моноэнергетических электронов направ­лен нормально на узкую щель шириной а = 1 мкм. Определить скорость этих электронов, если на экране, отстоящем на расстоянии l = 20 см от щели, ширина центрального дифракционного максимума составляет Δ x = 48 мкм. Ответ: υ = 2 hl / (am ^.Δ x) = 606 км/с.

7.15. Параллельный пучок электронов, ускоренный разностью потенциалов U = 50 В, направлен нормально на две параллельные, лежащие в одной плоскости, щели, расстояние d между которыми равно 10 мкм. Определить расстояние между центральным и первым максимумами дифракционной картины на экране, который расположен от щелей на расстоянии l = 0,6 м. Ответ: Δ x = 2 hl / (d ) = 10,4 мкм.

7.16. Объяснить, почему представление о боровских орбитах несовместимо с принципом неопределенности.

7.17. Ширина следа электрона (обладающего кинетической энергией Т = 1,5 кэВ) на фотопластинке, полученного с помощью камеры Вильсона, составляет Δ x = 1 мкм. Определить, можно ли по данному следу обнаружить отклонение в движении электрона от за­конов классической механики. Ответ: Δ p_x / p_x = 10^-4, нет.

7.18. Электронный пучок ускоряется в электронно-лучевой трубке разностью потенциалов U = 1 кВ. Известно, что неопределенность скорости составляет 0,1 % от ее числового значения. Определить неопределенность координаты электрона. Являются ли электроны в данных условиях квантовыми или классическими частицами? Ответ: Δ x = 38,8 нм.

7.19. Определить отношение неопределенностей скорости электрона, если его координата установлена с точностью до 10^{-5 м, и пылинки массой} m = 10^{-12 кг, если ее координата установлена с такой же точностью.} Ответ: 1,1·10¹⁸.

7.20. Электронный пучок выходит из электронной пушки под дейст­вием разности потенциалов U = 200 В. Определить, можно ли од­новременно измерить траекторию электрона с точностью до 100 нм (с точностью порядка диаметра атома) и его скорость с точностью до 10 %. Ответ: m ^.Δυ^.Δ x < h; нет.

7.21. Электрон движется в атоме водорода по первой боровской ор­бите. Принимая, что допускаемая неопределенность скорости со­ставляет 10 % от ее числового значения, определить неопределен­ность координаты электрона. Применимо ли в данном случае для электрона понятие траектории? Ответ: Δ x = 3,34 нм, нет.

7.22. Применяя соотношение неопределенностей, показать, что для движущейся частицы, неопределенность координаты которой равна длине волны де Бройля, неопределенность скорости равна по порядку величины самой скорости частицы.

7.23. Используя соотношение неопределенностей в форме Δ p_x ^.Δ x ≥ ħ, оценить минимально возможную полную энергию электрона в атоме водорода. Принять неопределенность координаты равной радиусу атома. Сравнить полученный результат с теорией Бора. Ответ: E_max = – me ⁴ / (8 h ^2.ε₀²) = -13,6 эВ.

7.24. Объяснить физический смысл соотношения неопределенности для энергии E и времени t: Δ E ^.Δ t ≥ h.

7.25. Воспользовавшись соотношением неопределенностей, оценить размытость энергетического уровня в атоме водорода: 1) для основного состояния; 2) для возбужденного состояния (время его жизни равно 10^-8с). Ответ: 1) 0; 2) 414 нэВ.

7.26. Длина волны λ излучаемого атомом фотона составляет 0,6 мкм. Принимая время жизни возбужденного состояния Δ t = 10^-8 c, определить отношение естественной ширины энергетического уровня, на который был возбужден электрон, к энергии, излученной атомом. Ответ: Δ Е / Е = λ / (c ^.Δ t) = 2^.10^-7.

7.27. Принимая, что электрон находится внутри атома диаметром 0,3 нм, определить (в электрон-вольтах) неопределенность энергии этого электрона. Ответ: Δ Е = h² / 2 m ^. (Δ x) ² = 16,7 эВ.

7.28. Объяснить, почему физический смысл имеет не сама ψ -функция, а квадрат ее модуля |ψ|².

7.29. Объяснить, почему волновая функция должна быть конечной, однозначной и непрерывной.

7.30. Записать выражение для вероятности W обнаружения частицы в конечном объеме V, если известна координатная пси-функция частицы ψ(x, y, z).

7.31. Известно, что свободная квантовая частица описывается плоской монохроматической волной де Бройля. Плотность вероятности (вероятность, отнесенная к единице объема) обнаружения свободной частицы |ψ|² = ψψ* = | А |² = const. Объяснить, что означает постоянство этой величины.

7.32. Записать уравнение Шредингера для стационарных состояний для свободной частицы, движущейся вдоль оси х, а также определить посредством его решения собственные значения энергии. Что можно сказать об энергетическом спектре свободной частицы? Ответ: E = ħ^2. k ² / (2 m).

7.33. Частица в одномерной прямоугольной «потенциальной яме» шириной l с бесконечно высокими «стенками» находится в основном состоянии. Определить вероятность обнаружения частицы в левой трети «ямы». Ответ: 0,195.

7.34. Частица в одномерной прямоугольной «потенциальной яме» шириной l с бесконечно высокими «стенками» находится в возбужденном состоянии (n = 2). Определить вероятность обнаружения частицы в области ³/₈ l ≤ х ≤ ⁵/₈ l. Ответ: 0,091.

7.35. Электрон находится в одномерной прямоугольной «потенциальной яме» шириной l с бесконечно высокими «стенками». Определить вероятность W обнаружения электрона в средней трети «ямы», если электрон находится в возбужденном состоянии (n = 3). Пояснить физический смысл полученного результата, изобразив графически плотность вероятности обнаружения электрона в данном состоянии. Ответ: 1/3.

7.36. Частица в одномерной прямоугольной «потенциальной яме» шириной l с бесконечно высокими «стенками» находится в возбужденном состоянии (n = 3). Определить, в каких точках «ямы» (0 ≤ х ≤ 1) плотность вероятности обнаружения частицы: 1) максимальна; 2) минимальна. Пояснить полученный результат графически. Ответ: 1) ^l /₆, ^l /₂, 5 ^l /₆; 2) ^l /₃, 2 ^l /₃.

7.37. Определить, при какой ширине одномерной прямоугольной «потенциальной ямы» с бесконечно высокими «стенками» дискретность энергетического спектра электрона сравнима с его средней кинетической энергией при температуре Т. Ответ: l = ħ^.π / .

7.38. Доказать, что энергия свободных электронов в металле не квантуется. Принять, что ширина l прямоугольной «потенциальной ямы» с бесконечно высокими «стенками» для электрона в металле составляет 10 см. Ответ: Δ E ≈0,75 n ^.10^-16 эВ.

7.39. Частица находится в одномерной прямоугольной «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками». Определить, во сколько раз изменяется отношение разности соседних энергетических уровней частицы: при переходе от n = 3 к n' = 8. Объяснить физическую сущность полученного результата. Ответ: Уменьшается в 3 раза.

7.40. Частица с энергией E движется в положительном направлении оси x и встречает на своем пути прямоугольный потенциальный барьер высотой U и конечной шириной l, причем E < U. Записать уравнение Шредингера для областей 1, 2 и 3.

7.41. Электрон с энергией Е = 4 эВ движется в положительном направлении оси х, встречая на своем пути прямоугольный потенциальный барьер высотой U = 10 эВ и шириной l = 0,1 нм. Определить коэффициент D прозрачности потенциального барьера. Ответ: 0,1.

7.42. Прямоугольный потенциальный барьер имеет ширину l = 0,1 нм. Определить в электрон-вольтах разность энергий (U – E), при которой вероятность прохождения электрона сквозь барьер составит 0,5. Ответ: 0,454 эВ.

7.43. Протон с энергией Е = 5 эВ движется в положительном направлении оси х, встречая на своем пути прямоугольный потенциальный барьер высотой U = 10 эВ и шириной l = 0,1 нм. Определить: 1) вероятность прохождения протоном этого барьера; 2) во сколько раз надо сузить барьер, чтобы вероятность прохождения его протоном была такой же, как для электрона при вышеприведенных условиях. Ответ: 1) 1,67^.10^-43; 2) в 42,9 раза.

7.44. Прямоугольный потенциальный барьер имеет ширину l = 0,1 нм. Разность между высотой потенциального барьера и энергией движущегося в положительном направлении оси х электрона U – E = 5 эВ. Определить, во сколько раз изменится коэффициент D прозрачности потенциального барьера для электрона, если разность U – E возрастет в 4 раза. Ответ: Уменьшится в 10 раз.

7.45. Электрон с длиной волны де Бройля λ₁ = 100 нм, двигаясь в положительном направлении оси х, встречает на своем пути бесконечно широкий прямоугольный барьер высотой U = 100 эВ. Определить длину волны де Бройля после прохождения барьера. Ответ: λ₂ = λ₁ / = 172 пм.

7.46. Частица с энергией Е = 50 эВ, двигаясь в положительном направлении оси х, встречает на своем пути бесконечно широкий прямоугольный потенциальный барьер высотой U = 20 эВ. Определить вероятность отражения электрона от этого барьера. Ответ: W = 0,016.

7.47. Частица массой m = 10^{-19 кг, двигаясь в положительном направлении оси х со скоростью υ = 20 м/с, встречает на своем пути бесконечно широкий прямоугольный потенциальный барьер высотой} U = 100 эВ. Определить коэффициент отражения R волн де Бройля на границе потенциального барьера. Ответ: R = 0,146.

7.48. Электрон с длиной волны λ де Бройля, равной 120 пм, движется в положительном направлении оси x и встречает на своем пути бесконечно широкий прямоугольный потенциальный барьер высотой U = 200 эВ. Определить коэффициент отражения R волн де Бройля на границе потенциального барьера. Ответ: R = l.

7.49. Объяснить физический смысл существования энергии нулевых колебаний для квантового гармонического осциллятора. Зависит ли наличие нулевых колебаний от формы «потенциальной ямы»?

7.50. Математический маятник можно рассматривать в качестве гармонического осциллятора. Определить в электрон-вольтах энергию нулевых колебаний для маятника длиной l = 1 м, находящегося в поле тяготения Земли. Ответ: 1,03^.10^-15 эВ.

7.51. Рассматривая математический маятник массой m = 100 г и длиной l = 0,5м в виде гармонического осциллятора, определить классическую амплитуду А маятника, соответствующую энергии нулевых колебаний этого маятника. Ответ: А = = 1,54^.10^{-17 м.}

Дата добавления: 2014-11-06