Часть 2. Статически неопределимые стержневые системы 2 страница

Так как модули упругости всех стержней одинаковы и площади всех сечений выражаются через площадь , то вместо (8.1) удобнее использовать выражения

. (8.2)

Учитывая симметрию, в расчет можно включать только половину фермы. При этом длины стержней, не имеющих парного стержня во второй половине, следует уменьшить вдвое. После подсчета величин и следует определить значение неизвестного: . Окончательные значения сил в стержнях фермы определяются по формуле . Для осуществления кинематической проверки используется выражение

. (8.3)

Все расчеты свести в таблицу.

Пример выполнения задания

Дано: схема фермы (рис. 24а); . Площади поперечных сечений стержней фермы: нижнего пояса - ; верхнего пояса - ; решетки - ; элементов шпренгеля - . Требуется: а) определить силы во всех стержнях фермы; б) выполнить кинематическую проверку.

Решение. Выбираем симметричную ОС, отбрасывая стержень 11 и заменяя его неизвестной силой (рис. 24б), определяемой из канонического уравнения . Коэффициент податливости и свободный член определяются по формулам

(8.4) Так как модули упругости всех стержней одинаковы и площади поперечных сечений выражены через площадь , то вместо (8.4) удобнее использовать выражения

(8.5)

Учитывая, что выбранная ОС является симметричной, суммы в последних выражениях берем только для одной половины, включая стержни 9 и 11, расположенные на оси симметрии (при расчете длины этих стержней уменьшаем вдвое).

Предварительно найдем значения углов и (рис. 24а), необходимые для дальнейших расчетов:

.

Для определения сил и , возникающих в ОС соответственно от сил и заданной нагрузки, используем метод вырезания узлов (в расчетах индексы 1 и P опущены).

Расчет ОС от сил . Так как силы уравновешены, то реакции опор от этих сил отсутствуют. Вырезаем последовательны узлы ОС (рис. 25) и составляем для них уравнения равновесия.

Узел L:

Узел K: .

Узел E:

Узел A: .

.

Узел C: .

Узел F:

.

В стержне 11 от сил .

Расчет ОС от нагрузки. Определяем реакции опор: . Из равновесия узлов L, E и K следует: .

Составляем уравнения равновесия узлов A, C и F (рис. 26).

Узел A:

.

Узел C:

.

Узел F:

.

Вычисляем суммы в правых частях (8.5) Из канонического уравнения находим неизвестную силу: .

Окончательные значения сил в стержнях фермы определяем по формуле . Расчеты сведены в табл. 13.

Таблица 13

№ ст.	l k	Fk / F	N 1, k	N P,k			Nk
	4,0	1,2	-0,5	0,0	0,833	0,0	-1,572	2,619
	3,0	1,5	-0,375	11,25	0,281	-8,442	10,071	-7,557
	5,0	1,2	0,625	-18,75	1,627	-48,809	-16,875	-43,928
	3,0	1,8	1,5	0,0	3,753	0,0	4,715	11,797
	4,0	1,2	0,0	10,0	0,0	0,0	10,0	0,0
	3,0	1,5	-0,375	11,25	0,281	-8,442	10,071	-7,557
	5,0	1,2	-0,625	6,25	1,627	-16,270	4,285	-11,154
	3,0	1,8	0,75	-15,0	0,938	-18,765	-12,642	-15,815
	2,0	1,2	1,0	0,0	1,667	0,0	3,144	5,238
	6,325	0,8	-1,582	0,0	19,787	0,0	-4,973	62,201
	1,0	0,8	1,0	0,0	1,25	0,0	3,144	3,930
Σ	-	-	-	-	32,043	-100,728	-	-0,226

Кинематическая проверка:

Задание 9. Расчет статически неопределимой рамы методом перемещений

Для заданной статически неопределимой рамы (рис. 27,28) с выбранными по шифру из табл. 14 размерами и нагрузкой требуется: а) построить эпюры ; б) выполнить статическую проверку.

Таблица 14

Первая цифра шифра
l, м
Вторая цифра шифра
h, м
P 1, кН
P 2, кН
P 3, кН
Третья цифра шифра (№ схемы)
	1:2	2:1	2:3	3:2	1:3	3:1	3:4	4:3	4:1	1:4

Методические указания. Расчет статически неопределимой рамы методом перемещений осуществляется с помощью основной системы (ОС), которая получается из заданной путем введения дополнительных связей, исключающих линейные перемещения и углы поворота узлов (последние вводятся только в жесткие узлы). Для построения в ОС эпюр от перемещений и углов поворота , а также эпюры от нагрузки используются справочные данные, приведенные в табл. 15. Коэффициенты при неизвестных и свободные члены канонических уравнений определяются из равновесия узлов или частей ОС, содержащих дополнительные связи.

После определения неизвестных строятся эпюры . Окончательная эпюра изгибающих моментов строится в заданной системе с помощью выражения . Эпюра на каждом участке строится по эпюре . При отсутствии на участке распределенной нагрузки поперечная сила на нем постоянна и определяется по формуле , где - изгибающие моменты соответственно на правом (верхнем) и левом (нижнем) концах участка. Моменты подставляются в формулу с учетом их знаков ( растягивает ригели с нижней, стойки - с правой стороны). Продольные силы в стержнях определяются по известным значениям из условий равновесия узлов. При этом должна поворачивать рассматриваемый узел по часовой стрелке, направляется от узла.

Проверка равновесия рамы осуществляется тремя уравнениями: (сумму моментов можно составлять относительно любой точки). Необходимые для этого реакции опор определяются из условий равновесия обобщенных внутренних и внешних сил в опорных узлах.

Пример выполнения задания. Дано: схема рамы (рис. 29а); . Требуется: а) построить эпюры ; б) выполнить статическую проверку.

Решение. Заданная рама имеет два неизвестных угла поворота жестких узлов и одно неизвестное вертикальное перемещение этих узлов. Основную систему метода перемещений получаем из заданной системы путем введения в нее трех дополнительных связей: двух заделок и одного стержня (рис. 29б). Неизвестные углы поворота и перемещение в направлениях дополнительных связей определяются из канонических уравнений

С помощью справочных данных (табл. 15) строим в ОС единичные и грузовую эпюры (рис. 29в, 29г, 29д, 29е). Коэффициенты при неизвестных и свободные члены канонических уравнений определяются из равновесия узлов ОС, содержащих дополнительные связи (рис. 30) с учетом заданного отношения ():

Подставляя эти значения в канонические уравнения и решая последние, получаем: . Строим в ОС эпюры от перемещений (рис. 31а, 31б, 31в). Окончательная эпюра (рис. 32а) получается с помощью выражения: . Проверяем равновесие моментов в узле С: .

Поперечные силы на каждом участке определяются по эпюре .

Участок AB: .

Участок BC: .

Участок CD: .

Участок CF: .

Участок EF: .

По полученным на участках значениям поперечных сил строим эпюру (рис.32б).

Продольные силы определяем из условия равновесия узлов (рис. 33).

Узел C: .

.

Узел F: .

По полученным значениям строим эпюру (рис. 32в).

Определяем реакции опор, рассматривая равновесие опорных узлов (рис. 34):

.

Проверяем равновесие рамы (рис. 32г):

Литература

1. Дарков А.В., Шапошников Н.Н. Строительная механика. - М.: Высш. шк., 1986.

2. Смирнов В.А., Иванов С.А., Тихонов М.А. Строительная механика. - М.: Стройиздат, 1984.

3. Руководство к практическим занятиям по курсу строительной механики (статически определимые и статически неопределимые системы) / под общ. ред. Г.К. Клейна. - М.: Высш. шк., 1973.

Дата добавления: 2014-11-25