Краткая теория. Движение частицы под действием постоянной силы

Движение частицы под действием постоянной силы

В классической механике второй закон Ньютона для данного вида движе-

ния запишется в виде (2.1):

, (2.1)

где F₀ - сила, действующая на частицу массы m.

Уравнение (2.1) элементарно интегрируется:

x(t)=x₀ + V₀t + (2.2)

Здесь x₀ и V₀ - начальные значения координаты и скорости.

Уравнение Шредингера для частицы, движущейся под действием посто-

янной силы имеет вид:

(2.3)

Начальная волновая функция, необходимая для решения нестационарного

уравнения Шредингера (2.3), задается волновым пакетом гауссовской фор-

мы:

Ψ(x, t=0) = ехр (2.4)

Поскольку уравнение (2.4) соответствует частице, движущейся в положи-тельном направлении оси х, случай F₀ <0 соответствует замедляющему

силовому полю, а случай F₀>0 – ускоряющему. Аналитическое решение

уравнения (2.3) для частицы, движущейся под действием постоянной силы

выполнено в [3] методом быстрого преобразования Фурье. Волновая функ-

ция при этом описывается довольно громоздким уравнением, что затрудня-

ет его анализ. Можно указать следующие особенности полученного реше-

ния:

1. “В среднем” под действием постоянной силы квантовая частица дви-жется так же, как и классическая частица:

,

, (2.5)

где - средние значения координаты и импульса, - средние

значения этих величин в начальном состоянии.

2. Расплывание волнового пакета происходит с такой же скоростью, как

и в отсутствии внешнего поля. Характерное время расплывания можно

оценить по формуле (1.9) лабораторной задачи QM-1:

τ = ,

где a – начальная ширина пакета.

3. Характерный вид распределения плотности вероятности обнаружения

частицы при движении частицы в тормозящем поле в разные моменты

времени приведен на рис. 2.1. Тормозящая сила, как видно из рисунка,

естественно направлена в сторону, противоположную движению частицы.

Дата добавления: 2014-11-25