Определенный интеграл

Определение определенного интеграла. Пусть функция задана на отрезке [а, b]. Разобьем отрезок [а, b] на п произвольных частей точками

.

Точки, разделяющие отрезок [а, b] на частичные отрезки длиной , называются точками разбиения. Внутри каждого частичного отрезка выберем произвольную точку . Образуем сумму произведений

,

называемую интегральной суммой для функции на отрезке [а, b]. Геометрический смысл величины s показан на рис. 2.. Это сумма площадей прямоугольников с основаниями и высотами .

При этом числа a и b называются соответственно нижним и верхним пределами, выражение – подынтегральным выражением, – подынтегральной функцией.

Определенный интеграл численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной вертикальными прямыми при , осью Ох и графиком неотрицательной и непрерывной функции . В этом состоит его геометрический смысл.

Если предположить, что – производительность труда в момент t, то будет численно равен объему произведенной продукции за промежуток , т. е. определенному интегралу можно придать экономический смысл.

у В Мi mi А О х0=а хi хi+1 b= хn х Рис. 2

Предел интегральной суммы при стремлении к нулю, не зависящий от способа выбора точек и точек , называется определенным интегралом от функции на [а, b] и обозначается

Определенный интеграл обладает рядом свойств, аналогичных свойствам неопределенного интеграла:

1) постоянный множитель можно выносить за знак интеграла;

2) интеграл от алгебраической суммы функций равен такой же сумме интегралов от этих функций (свойство линейности).

Кроме того, определенному интегралу присущи свойства, не имеющие аналогов в теории неопределенных интегралов:

3) интеграл от постоянной величины равен этой постоянной, умноженной на длину отрезка интегрирования

;

4) при перемене местами пределов интегрирования интеграл изменяет лишь знак

;

5) интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю

;

6) для любых чисел а, b и c имеет место равенство

.

Пример. Вычислить определенный интеграл с точностью до двух знаков после запятой

Решение:

Воспользуемся методом замены переменной. Введем новую переменную t по формуле . Тогда или . Осуществим пересчет пределов интегрирования, используя вид замены. Подставим нижний предел интегрирования старой переменной в выражение и найдем нижний предел интегрирования новой переменной . Аналогично, подставляя верхний предел интегрирования старой переменной , найдем верхний предел интегрирования новой переменной . Тогда

Дата добавления: 2014-11-25