Дифференциал функции

Решение.

Производные высших порядков

Производная функции есть также функция от и называется производной первого порядка.

Если функция дифференцируема, то ее производная называется производной второго порядка и обозначается , то есть .

Производная от производной второго порядка, если она существует, называется производной третьего порядка и обозначается , то есть .

Производной -го порядка (или -й производной) называется производная от производной ( -1)-го порядка и обозначается , то есть .

Пример. Найти производную третьего порядка от функции .

,

Итак,

Пусть задана функция и можно вычислить , то есть значение этой функции в точке . Требуется вычислить значение этой функции в точке .

Если данная функция дифференцируема в точке , то в точке существует касательная к графику функции (см. рис. 56). Тогда приращение функции можно представить в виде:

.

Главную часть линейную относительно приращения независимой переменной в последнем равенстве, то есть выражение называют дифференциалом функции в точке и обозначают . Итак, .

При , то есть при приращение функции приближенно равно дифференциалу :

или .

Последнюю формулу применяют для приближенного вычисления значений функций в точке.

Пример. Вычислить .

Решение. Рассмотрим функцию . Пусть , тогда , откуда .

,

.

Следовательно, .

Ответ: .

Заметим, что дифференциал независимой переменной равен ее приращению, то есть , так как . Таким образом, дифференциал функции вычисляется по формуле:

.

Пример. Найти дифференциал функции .

Решение. , тогда .

Дата добавления: 2014-11-09