Примеры решения задач. 1 страница

R и индуктивностью L

Обладающей сопротивлением

Поля через площадку S

где — угол между вектором и

нормалью к площадке.

Закон электромагнитной индукции ,

где N — число витков контура.

Потокосцепление контура с током ,

где L — индуктивность контура.

Электродвижущая сила самоиндукции .

Индуктивность соленоида ,

где V — объем соленоида

n — число витков на единицу длины соленоида

Мгновенное значение силы тока в цепи,

.

Энергия магнитного поля .

Объемная плотность энергии магнитного поля .

Пример 18. Три точечных заряда Q₁= Q₂= Q₃=1 нКл расположены в вершинах равностороннего треугольника. Какой заряд Q₄ нужно помесить в центр треугольника, чтобы указанная система находилась в равновесии.

Решение. Все три заряда, расположенные по вершинам треугольника, находятся в одинаковых условиях. Поэтому достаточно выяснить, какой из зарядов, например Q₁, находился в равновесии. Заряд Q₁ будет находиться в равновесии, если векторная сумма действующая на него сил равна нулю (рис. 6):

F

=0, (1)

Рис. 6

где F₂, F₃, F₄ – силы, с которыми соответственно действуют на заряд Q₁ заряды Q₂,Q₃,Q₄; F-

равнодействующая сил F₂ и F₃.

F

Так как силы F и F₄ направлены по одной прямой в противоположные стороны, то векторное равенство (1) можно заменить скалярным: F- F₄=0, откуда F= F₄. Выразим в последнем равенстве F

через F₂ и F₃ и учитывая, что F₂= F₃, получим

Применив закон Кулона и имея в виду, что Q₁= Q₂= Q₃, найдем

,

откуда

. (2)

Из геометрических построений в равностороннем треугольнике следует, что

, cos α =cos 60⁰=1/2.

С учетом этого формула (2) примет вид

.

Подставим числовые значения

Пример 19. Два заряда и расположены в вершинах равностороннего треугольника со стороной Определить напряженность и потенциал электрического поля в третьей вершине треугольника.

Р е ш е н и е. 1.Напряженность электрического поля в точке A (рис. 7) является геометрической (т. е. векторной) суммой напряженностей и полей, создаваемых зарядами и соответственно:

Модуль результирующий напряженности может быть найден по теореме косинусов как диагональ параллелограмма, построенного на векторах и

(1)

Напряженность электрического поля точечного заряда выражается формулой

(2)

где Q – заряд, создающий поле; - электрическая постоянная; - диэлектрическая проницаемость среды; r – расстояние от расчётной точки поля до заряда, его создающего.

Так как то имеем

(3)

Поскольку преобразуем:

(4)

Подставив (3) и (4) в (1), получим

(5)

Выразим числовые значения величин в СИ:

Проверим формулу (5):

Подставим в формулу (5) числовые данные и вычислим

Примечание. В расчётную формулу (5) подставлены модули зарядов, поскольку их знаки учтены при выводе этой формулы.

2. Потенциал электрического поля в точке А равен алгебраической сумме потенциалов и полей, создаваемых зарядами и соответственно:

(6)

Потенциал поля точечного заряда выражается формулой

(7)

В формуле (7) обозначения те же, что и в формуле (2). Подставив (7) в (6) и учитывая, что получим

(8)

Подставив числовые значения величин в (8) и вычислим:

Пример 20. Электрическое поле создается двумя зарядами Q₁= 4мкКл и Q₂=-2 мкКл, находящимися на расстоянии а=0,1 м друг от друга. Определить работу А_1,2 сил поля по перемещению заряда Q=50 нКл из точки 1 в точку 2 (рис.8)

Решение. Для определения работы А_1,2 сил поля воспользуемся соотношением

Рис.8

Применяя принцип суперпозиции электрических полей, определим потенциалы φ₁ и φ₂ точек 1 и 2 поля:

; с.

Тогда

,

или

.

Проверим, даст ли правая часть равенства единицу работы (Дж):

Подставим числовые значения физических величин и произведем вычисления:

Пример 21. Определить ускоряющую разность потенциалов U, которую должен пройти в электрическом поле электрон, обладающий скоростью υ₁=10⁶ м/с, чтобы скорость его возросла в n=2 раза.

Решение. Ускоряющую разность потенциалов можно найти, вычислив работу А сил электростатического поля. Эта работа определяется произведением элементарного заряда е на разность потенциалов U:

(1)

Работа сил электростатического поля в данном случае равна изменению кинетической энергии электрона:

, (2)

где Т₁ и Т₂- кинетическая энергия электрона до и после прохождения ускоряющего поля; m- масса электрона; υ₁ и υ₂- начальная и конечная скорость его.

Приравняв правые части равенства (1) и (2), получим

,

где .

Отсюда искомая разность потенциалов

.

Произведем вычисления:

.

Пример 22. Конденсатор емкостью С₁=3 мкФ был заряжен до разности потенциалов U₁=40 В. После отключения от источника тока конденсатор соединили параллельно с другим незаряженным конденсатором емкостью С₂=5 мкФ. Какая энергия W израсходуется на образование искры в момент присоединения второго конденсатора?

Решение. Энергия, израсходованная на образование искры,

, (1)

где W₁- энергия, которой обладал первый конденсатор до присоединения к нему второго конденсатора; W₂- энергия, которую имеет батарея, составленная из двух конденсаторов.

Энергия заряженного конденсатора определяется по формуле

, (2)

где С- емкость конденсатора или батареи конденсаторов.

Выразив в формуле (1) энергии W₁ и W₂ по формуле (2) и приняв во внимание, что общая емкость параллельно соединенных конденсаторов равна сумме емкостей отдельных конденсаторов, получим

, (3)

где U₂- разность потенциалов на зажимах батареи конденсаторов.

Учитывая, что заряд после присоединения второго конденсатора остался прежним, выразим разность потенциалов U₂ следующим образом:

. (4)

Подставив выражение U₂ в (3), найдем

,

или

.

Произведем вычисление:

.

Пример 23. Потенциометр сопротивлением R=100 Ом подключен к батарее с ЭДС ε=150В и внутренним сопротивлением R_i=50 Ом. Определить: 1) показание вольтметра сопротивлением R_v=500 Ом, соединенного с одной из клемм потенциометра и подвижным контактом, установленным посередине потенциометра; 2) разность потенциалов междутеми же точками потенциометра при отключении вольтметра.

Решение. 1. Показание вольтметра, подключенного к точкам А и В (рис. 9), определим по формуле

,

где R₁- сопротивление, параллельно соединенных вольтметра и половины потенциометра; I₁- суммарная сила тока в ветвях этого соединения (она равна силе тока в неразветвленной части цепи).

Силу тока I₁ найдем по закону Ома для полной цепи:

, (1)

где R_e сопротивление внешней цепи. Это сопротивление есть сумма двух сопротивлений:

. (2)

Сопротивление R₁ найдем по формуле параллельного соединения проводников ,откуда

.

Подставив в (1) выражение R_e по (2), найдем

.

В данном случае решение задачи в общем виде было бы громоздким. Поэтом удобно вычисление величин провести раздельно:

;

;

.

2. Разность потенциалов между точками А и В при отключенном вольтметра равна произведению силы тока I₂ на половину сопротивления потенциометра:

, (3)

где I₂ - сила тока в цепи при отключенном вольтметре. Ее определим по формуле

.

Подставив выражение I₂ в (3), найдем

.

Произведем вычисления:

.

Пример 24. Сила тока в проводнике сопротивлением R=20 Ом нарастает в течение времени Δt=2 с по линейному закону от I₀=0 до I= 6 А (рис 10). Определить теплоту Q₁, выделившуюся в этом проводнике за первую секунду, и Q₂- за вторую, а также найти отношение Q₂/ Q₁

Решение. Закон Джоуля- Ленца в виде справедлив для постоянного тока (I=const). Если же сила тока в проводнике изменяется, то указанный закон справедлив для бесконечно малого промежутка времени и записывается в виде

. (1)

Здесь сила тока I является некоторой функцией времени. В данном случае

, (2)

где k-коэффициент пропорциональности, характеризующий скорости изменения силы тока:

.

С учетом (2) формула (1) примет вид

. (3)

Для определения теплоты, выделившейся за конечный интервал времени Δt, выражение (3) надо проинтегрировать в пределах от t₁ и t₂:

.

Произведем вычисления:

Следовательно,

,

т.е. за вторую секунду выделится теплоты в семь раз больше, чем за первую.

Пример 25. Два параллельных бесконечно длинных провода D и С, по которым текут в одном направлении электрические токи силой I=60 А, расположены на расстоянии d=10 см друг от друга. Определить магнит­ную индукцию В поля, создаваемого проводниками с током в точке А (рис. 11), отстоящей от оси одного про­водника на расстоянии r₁ = 5 см, от другого —r₂ = 12 см.

Решение. Для нахождения магнитной индукции В в точке А воспользуемся принципом суперпозиции маг­нитных полей. Для этого определим направления магнит­ных индукции B₁ и B₂ полей, создаваемых каждым про­водником с током в отдельности, и сложим их геометрически:

В=В₁ + В₂.

Модуль вектора В может быть найден по теореме коси­нусов:

, (1)

где α — угол между векторами В₁ и В₂.

Магнитные индукции B₁ и В₂ выражаются соответственно через силу тока I и расстояния r₁и г₂ от проводов до точки А:

;

Подставляя выражения B₁и B₂в формулу (1) и вынося за знак корня, получаем

Вычислим cos α. Заметив, что (как углы c соответственно перпендикулярными сторонами), по теореме косинусов запишем

где d — расстояние между проводами. Отсюда

.

Подставим в формулу (2) числовые значения физических величин и произведем вычисления:

Пример 26. Длинный провод с током I= 50 А изогнут под углом . Определить магнитную индукцию В в точке А (рис. 12). Расстояние d = 5 см.

Решение. Изогнутый провод можно рассматри­вать как два длинных провода, концы которых соединены в точке О (рис. 13). В соответствии с принципом супер­позиции магнитных полей магнитная индукция В в точ­ке А будет равна геометрической сумме магнитных ин­дукции В₁ и В₂ полей, создаваемых отрезками длинных проводов 1 и 2, т. е. В=В₁ + В₂. Магнитная индукция В ₂ равна нулю. Это следует из закона Био — Савара — Лап­ласа, согласно которому в точках, лежащих на оси привода,

([dlr])=0.

Магнитную индукцию B₁ найдем, воспользовавшись соотношением

,

где r₀ — кратчайшее расстояние от провода 1до точки А (рис. 13).

В нашем случае (провод длинный), (cosα₂=cos(2π/3)=-1/2). Расстояние Тогда магнитная индукция

Так как B = B₁(B₂=0), то

Вектор В сонаправлен с вектором В₁ и определяется правилом правого винта. На рис. 13 это направление отмечено крестиком в кружочке (перпендикулярно пло­скости чертежа, от нас).

Произведем вычисления:

Пример 27. Два бесконечно длинных провода скреще­ны под прямым углом (рис. 14). По проводам текут токи I₁ = 80 А и I₂=60 А. Расстояние d, между проводами равно 10 см. Определить магнитную индукцию В в точ­ке A, одинаково удаленной от обоих проводов.

Решение. В соответствии с принципом суперпо­зиции магнитных полей магнитная индукция В поля, создаваемого токами I₁и I₂, определяется выра­жением

В = В₁ + В₂, где В₁ — магнитная индукция поля, созданного в точке А током I₁ ;В₂ — магнитная индукция по-, созданного в точке Атоком I₂.

Заметим, что векторы B₁ и В₂ взаимно перпен­дикулярны (их направле­ния находятся по правилу буравчика и изобра­жены в двух проекциях на рис. 15). Тогда модуль вектора В можно опреде­лить по теореме Пифа­гора:

,

где B₁и В₂ определяются по формулам расчета магнит­ной индукции для бесконечно длинного прямолинейного провода с током:

и

В нашем случае r₀ = d/2. Тогда

Произведем вычисления:

Пример 28. Бесконечно длинный провод изогнут так, как это изображено на рис. 16. Радиус R дуги окруж­ности равен 10см. Определить магнитную индукцию В поля, создаваемого в точке О током I=80 А, текущим по этому проводу.

Решение. Магнитную индукцию В в точке О найдем, используя принцип суперпозиции магнитных полей: . В нашем случае провод можно разбить на три части (рис. 17): два прямолинейных провода (1 и 3), одним концом уходящие в бесконечность, и дугу полуокружности (2)радиуса R. Тогда

Дата добавления: 2014-11-16