Примеры решения задач. 2 страница

где B₁, В₂ и Вз — магнитные индукции в точке О, созда­ваемые током, текущим соответственно на первом, втором и третьем участках провода.

Так как точка О лежит на оси провода 1, то В₁ = 0 и тогда

Учитывая, что векторы В₂ и В₃ направлены в соответ­ствии с правилом буравчика перпендикулярно плоскости чертежа от нас, то геометрическое суммирование можно заменить алгебраическим:

Магнитную индукцию В₂ найдем, воспользовавшись выражением для магнитной индукции в центре кругового тока:

В нашем случае магнитное поле в точке О создается лишь половиной кругового тока, поэтому

.

Магнитную индукцию В₃ найдем, воспользовавшись соотношением

В нашем случае r₀=R, α₁=π/2 (cos α₁=0), (cos α₂=-1).Тогда

Используя найденные выражения для В₂ и В₃, получим

или

Произведем вычисления:

Пример 29. По двум параллельным прямым проводам длиной l=2,5м каждый, находящимся на расстоянии d=20 см друг от друга, текут одинаковые токи I=1 кА. Вычислить силу взаимодействия токов.

Решение. Взаимодействие двух проводов, по которым текут токи, осуществляется через магнитное поле. Каждый ток создает магнитное поле, которое дей­ствует на другой провод.

Предположим, что оба тока (обозначим их для удоб­ства I₁ и I₂) текут в одном направлении. Ток I₁ создает в месте расположения второго провода (с током I₂) магнитное поле.

Проведем линию магнитной индукции (пунктир на рис. 18) через второй провод и по касательной к ней — вектор магнитной индукции В₁. Модуль магнитной индук­ции В₁ определяется соотношением

(1)

Согласно закону Ампера, на каждый элемент второго провода с током I₂ длиной d l действует в магнитном поле сила

Рис. 18

Так как вектор dl перпендикулярен вектору B₁ то sin (dlB) =1 и тогда

Подставив в это выражение B₁согласно (1), получим

Силу F взаимодействия проводов с током найдем интегрированием:

Заметив, что I₁ = I₂ = I, получим

Убедимся в том, что правая часть этого равенства дает единицу силы (Н):

Произведем вычисления:

'

Сила F сонаправлена с силой dF (рис. 18) и опреде­ляется (в данном случае проще) правилом левой руки.

Пример 30. Протон, прошедший ускоряющую разность потенциа­лов U = 600 В, влетел в однород­ное магнитное поле с индукцией B = 0,3 Тл и начал двигаться по окружности. Вычислить радиус R окружности.

Решение. Движение заря­женной частицы в однородном магнитном поле будет происходить по окружности только в том слу­чае, когда частица влетит в маг­нитное поле перпендикулярно ли­ниям магнитной индукции v В. Так как сила Лоренца перпендикулярна вектору v, то она сообщит частице (протону) нормальное ускорение а_n.

Согласно второму закону Ньютона,

(1)

где m — масса протона.

На рис. 19 совмещена траектория протона с пло­скостью чертежа и дано (произвольно) направление вектора v. Силу Лоренца направим перпендикулярно вектору v к центру окружности (векторы а_n и F_л сонаправлены). Используя правило левой руки, определим направление магнитных силовых линий (направление вектора В).

Перепишем выражение (1) в скалярной форме (в про­екции на радиус):

(2)

В скалярной форме Fл=Q vВ sinα. В нашем случае v В и sin α = 1, тогда F л= Q v В. Так как нормальное ускоре­ние а_n= v²/R, то выражение (2) перепишем следующим образом:

Отсюда находим радиус окружности:

R=mv/(QB) (3)

Заметив, что mv есть импульс протона (р), это выраже­ние можно записать в виде

R=p/(QB)

Импульс протона найдем, воспользовавшись связью между работой сил электрического поля и изменением кинетической энергии протона, т.е. А = ΔТ, или

Q(φ₁- φ₂)=T₂-T₁

где φ₁-φ₂ - ускоряющая разность потенциалов (или ускоряющее напряжение U); Т₁ и Т₂ — начальная и ко­нечная кинетические энергии протона.

Пренебрегая начальной кинетической энергией прото­на (Т₁«0) и выразив кинетическую энергию Т₂ через импульс р, получим

QU=p²/(2m)

Найдем из этого выражения импульс и подставим его в формулу (3):

или

Убедимся в том, что правая часть равенства дает единицу длины (м):

Подставим в формулу (4) числовые значения физи­ческих величин и произведем вычисления:

Пример 31. Электрон, влетев в однородное магнитное поле (В= 0,2 Тл), стал двигаться по окружности радиуса R=5см. Определить магнитный момент р_т эквивалент­ного кругового тока.

Решение. Электрон начинает двигаться по окруж­ности, если он влетает в однородное магнитное поле перпендикулярно линиям магнитной индукции. На

рис. 20 линии магнитной индукции перпендикулярны плоскости чертежа и направлены «от нас» (обозначены крести­ками).

Движение электрона по окруж­ности эквивалентно круговому току, который в данном случае опреде­ляется выражением

где е — заряд электрона; Т — пе­риод его обращения.

Период обращения можно выра­зить через скорость электрона v и путь, проходимый электроном за период Т = v/ (2лR). Тогда

I _экв=|е| v/(2πR) (1)

Зная I _экв, найдем магнитный момент эквивалентного кругового тока. По определению, магнитный момент контура с током выражается соотношением

Рm=IэквS, (2)

где S — площадь, ограниченная окружностью, описывае­мой электроном (S = πR²).

Подставив I_экв из (1) в выражение (2), получим

Сократим на πR и перепишем это выражение в виде:

(3)

В полученном выражении известной является ско­рость электрона, которая связана с радиусом R окруж­ности, по которой он движется, соотношением R = mv/(QB) (см. пример 6). Заменив Q на │e│, найдем интересующую нас скорость v=\е\ВR/т и подставим ее в формулу (3):

Убедимся в том, что правая часть равенства дает единицу магнитного момента (А∙м²):

Произведем вычисления:

Пример 32. Электрон движется в однородном магнит­ном поле (В=10мТл) по винтовой линии, радиус R которой равен 1 см и шаг h = 6см. Определить период Т обращения электрона и его скорость v.

Решение. Электрон будет двигаться по винтовой линии, если он влетает в однородное магнитное поле под некоторым углом (α≠π/2) к линиям магнитной индук­ции. Разложим, как это показано на рис. 21, скорость v электрона на две составляющие: параллельную вектору в(v‌‌) и перпендикулярную ему (v ). Скорость v в магнит­ном поле не изменяется и обеспечивает перемещение электрона вдоль силовой линии. Скорость v в результа­те действия силы Лоренца будет изменяться только по направлению (Fл ) (в отсутствие параллельной со­ставляющей (v‌‌ ‌ = 0) движение электрона происходило бы по окружности в плоскости, перпендикулярной маг­нитным силовым линиям). Таким образом, электрон бу­дет участвовать одновременно в двух движениях: равно­мерном перемещении со скоростью v ‌ ‌ и равномерном движении по окружности со скоростью v

Период обращения электрона связан с перпендику­лярной составляющей скорости соотношением

Т=2πR/ v . (1)

Найдем отношение R/ v . Для этого воспользуемся тем, что сила Лоренца сообщает электрону нормальное ускорение а_п= v ² /R. Согласно второму закону Ньютона можно написать

или

где v =vsinα

Сократив (2) на v ., выразим соотношение

R/v (R/v =m/ B)

и подставим его в фор­мулу (1):

Убедимся в том, что правая часть равенства дает единицу времени (с):

Произведем вычисления:

Модуль скорости v, как это видно из рис. 20, можно выразить через и :

Из формулы (2) выразим перпендикулярную составляю­щую скорости:

Параллельную составляющую скорости найдем из следующих соображений. За время, равное периоду обра­щения Т, электрон пройдет вдоль силовой линии расстоя­ние, равное шагу винтовой линии, т.е. , откуда

.

Подставив вместо Т правую часть выражения (2), получим

Таким образом, модуль скорости электрона

Убедимся в том, что правая часть равенства дает единицу скорости (м/с). Для этого заметим, что R и h имеют одинаковую единицу — метр (м). Поэтому в квад­ратных скобках мы поставим только одну из величин (например, R):

Произведем вычисления:

Пример 33. Альфа-частица прошла ускоряющую раз­ность потенциалов U= 104 В и влетела в скрещенные под прямым углом электрическое (Е= кВ/м) и магнитное (В = 0,1 Тл) поля. Найти отношение заряда альфа - частицы к ее массе, если, двигаясь перпендикулярно обоим полям, частица не испытывает отклонений от прямолинейной траектории.

Решение. Для того чтобы найти отношение заряда Q альфа - частицы к ее массе m, воспользуемся связью между работой сил электрического поля и изменением кинетической энергии частицы:

,

откуда

. (1)

Скорость альфа - частицы найдем из следующих соображений. В скрещенных электрическом и магнитном полях на движущуюся заряженную частицу действуют две силы:

а) сила Лоренца , направленная перпен­дикулярно скорости и вектору магнитной индукции В;

Рис. 22

б) кулоновская сила cонаправленная с вектором напряженности Е электростатического поля ((Q>0). На рис. 22 направим вектор магнитной индукции В вдоль оси Оz, скорость v — в положительном направлении оси Ох, тогда F_л и F_k будут направлены так, как показано на рисунке.

Альфа-частица не будет испытывать отклонения, если геометрическая сумма сил F_л = F_k будет равна нулю. В проекции на ось Оу получим следующее равенство (при этом учтено, что v В и sin a = 1):

откуда

Подставив это выражение скорости в формулу (1), получим

.

Убедимся в том, что правая часть равенства дает единицу удельного заряда (Кл/кг):

Произведем вычисления:

Пример 34. Короткая катушка, содержащая N = 10³ витков, равномерно вращается с частотой п =10 с^-1 относительно оси АВ, лежащей в плоскости катушки и перпендикулярной линиям однородного магнитного поля (В = 0,04 Тл). Определить мгновенное значение ЭДС индукции для тех моментов времени, когда плоскость катушки составляет угол a = 60° с линиями поля. Площадь S катушки равна 100 см².

Решение. Мгновенное значение ЭДС индукции e_i определяется основным уравнением электромагнитной индукции Фарадея — Максвелла.

. (1)

Потокосцепление , где N — число витков катушки, пронизываемых магнитным потоком Ф. Подставив выражение Y в формулу (1), получим

(2)

При вращении катушки магнитный поток Ф, пронизывающий катушку в момент времени t, изменяется по закону , где В — магнитная индукция; S — площадь катушки; w — угловая скорость катушки. Подставив в формулу (2) выражение магнитного потока Ф и продифференцировав по времени, найдем мгновенное значение ЭДС индукции:

Заметив, что угловая скорость w со связана с частотой вращения п катушки соотношением и что угол (рис. 22), получим (учтено, что )

Убедимся в том, что правая часть этого равенства дает единицу ЭДС (В):

=

Произведем вычисления:

Пример 35. Квадратная проволочная рамка со стороной, а = 5 см и сопротивлением R=10 мОм находится в однородном магнитном поле (В = 40 мТл). Нормаль к плоскости рамки составляет угол a = 30° с линиями магнитной индукции. Определить заряд Q, который пройдет по рамке, если магнитное поле выключить.

Решение. При выключении магнитного поля произойдет изменение магнитного потока. Вследствие этого в рамке возникнет ЭДС индукции, определяемая основным законом электромагнитной индукции

Возникшая ЭДС индукции, вызовет в рамке индукционный ток, мгновенное значение которого можно определить, воспользовавшись законом Ома для полной цепи , где R — сопротивление рамки. Тогда

Так как мгновенное значение силы индукционного тока то это выражение можно переписать в виде

, откуда . (1)

Проинтегрировав выражение (1), найдем

или .

Заметив, что при выключенном поле (конечное состояние)

Ф₂ = 0, последнее равенство перепишется в виде

(2)

Найдем магнитный поток Ф₁. По определению магнитного потока имеем

где S — площадь рамки.

В нашем случае (рамка квадратная) . Тогда

(3)

Подставив (3) в (2), получим

Убедимся в том, что правая часть этого равенства дает единицу заряда (Кл):

Произведем вычисления:

Пример 36. Плоский квадратный контур со стороной а= 10 см, по которому течет ток I=100 А, свободно установился в однородном магнитном поле (B =1 Тл). Определить работу А, совершаемую внешними силами при повороте контура относительно оси, проходящей через середину его противоположных сторон, на угол: 1) 2) . При повороте контура сила тока в нем поддерживается неизменной.

Решение. Как известно, на контур с током в магнитном поле действует момент силы (рис. 23)

, (1)

где — магнитный момент контура; В — магнитная индукция; — угол между векторами р_m (направлен по нормали к контуру) и В.

По условию задачи в начальном положении контур свободно установился в магнитном поле. При этом момент силы равен нулю (М = 0), а значит, = 0, т. е. векторы p_m и В сонаправлены. Если внешние силы выведут контур из положения равновесия, то возникший момент сил [см. (1)] будет стремиться возвратить контур в исходное положение. Против этого момента и будет совершаться работа внешними силами. Так как момент сил переменной (зависит от угла поворота ), то для подсчета работы применим формулу работы в дифференциальной форме

. Учитывая формулу (1), получаем

.

Взяв интеграл от этого выражения, найдем работу при повороте на конечный угол:

(2)

Работа при повороте на угол φ₁=90⁰

. (3)

Выразим числовые значения величин в единицах СИ (I= 100 А, B = 1T l, а = 10 см =0,1 м) и подставим в (3):

A₁ = 100 ∙ 1 · (0,1)² Дж = 1 Дж.

Работа при повороте на угол φ₂ = 3°. В этом случае, учитывая, что угол φ₂ мал, заменим в выражении (2) sinφ~φ:

(4)

Выразим угол φ₂ в радианах. После подстановки чис­ловых значений величин в (4) найдем

Задачу можно решить и другими способами:

1. Работа внешних сил по перемещению контура с током в магнитном поле равна произведению силы тока в контуре на изменение магнитного потока, пронизываю­щего контур:

А=-IΔФ=I(Ф₁-Ф₂),

где Ф₁ — магнитный поток, пронизывающий контур до перемещения; Ф₂ — то же, после перемещения.

Если φ₁ = 90°, то Ф₁ = ВS, Ф₂ = 0. Следовательно,

А = IВS = IВа²,

что совпадает с (3).

2. Воспользуемся выражением для механической по­тенциальной энергии контура с током в магнитном поле

Тогда работа внешних сил

А = ΔП = П₂ — П₁

или

Так как р_т = I a², соsφ₁ = 1 и соs φ₂ = 0, то

А = 1Ва²,

что также совпадает с (3).

Пример 37. Соленоид с сердечником из немагнитного материала содержит N = 1200 витков провода, плотно прилегающих друг к другу. При силе тока I = 4 А маг­нитный поток Ф = 6 мкВб. Определить индуктивность L, соленоида и энергию W магнитного поля соленоида.

Решение. Индуктивность Lсвязана с потокосцеплением Ψ и силой тока I соотношением

(1)

Потокосцепление, в свою очередь, может быть опреде­лено через поток Ф и число витков N (при условии, что витки плотно прилегают друг к другу):

(2)

Из формул (1) и (2) находим индуктивность соле­ноида:

Энергия магнитного поля соленоида

.

Выразив (2) согласно (3), получим

(4)

Подставим в формулы (3) и (4) значение физических величин и произведем вычисления:

;

Дата добавления: 2014-11-16