Законами ассоциативности называются логические законы, позволяющие по-разному группировать высказывания, соединяемые с помощью «и», «или» и др

ЗАКОНЫ АССОЦИАТИВНОСТИ И КОММУТАТИВНОСТИ

ЗАКОН ТРАНЗИТИВНОСТИ

Закон транзитивности в обычном языке можно передать так: когда верно, что если первое, то второе, и если второе, то третье, то верно также, что если первое, то третье. Например: «Если дело обстоит так, что с развитием медицины появляется больше возможностей защитить человека от болезней и с увеличением этих возможностей растет средняя продолжительность его жизни, то верно, что с развитием медицины растет средняя продолжительность жизни человека». Иначе говоря, если условием истинности первого является истинность второго и условием истинности второго - истинность третьего, то истинность последнего есть также условие истинности первого.

Символически данный закон представляется формулой:

((А ® В) & (В ®С) ® (А ® С),

если (если А, то В) и (если В, то С), то (если А, то С).

Операции сложения и умножения чисел в математике ассоциативны:

(а + в) + с = а + (в + с),

(а ´ в) ´ с = а ´ (в ´ с).

Ассоциативностью обладают также логическое сложение (дизъюнкция) и логическое умножение (конъюнкция). Символически соответствующие законы представляются так:

(A v В) v С «A v (B v C)

(А & В) & С «А &( B &C).

В силу законов ассоциативности в формулах, представляющих конъюнкцию более чем двух высказываний или их дизъюнкцию, можно опускать скобки.

Законами коммутативности называют логические законы, позволяющие менять местами высказывания, связанные «и», «или», «если и только если» и др. Эти законы аналогичны алгебраическим законам коммутативности для умножения, сложения и др., по которым результат умножения не зависит от порядка множителей, сложения - от порядка слагаемых и т.д.

Символически законы коммутативности для конъюнкции и дизъюнкции записываются так:

(А & В) «(В & А),

А и В тогда и только тогда, когда В и А;

(A v В) «(В v А),

А или В, если и только если В или А.

Данные эквивалентности можно проиллюстрировать примерами: «Волга - самая длинная река в Европе и Волга впадает в Каспийское море в том и только том случае, если Волга впадает в Каспийское море и Волга является самой длинной рекой в Европе»; «Завтра будет дождь или будет снег, если и только если завтра будет снег или завтра будет дождь».

Существуют важные различия между употреблением слов «и» и «или» в повседневном языке и языке логики. В обычном языке этими словами соединяются два высказывания, связанные по содержанию. Нередко обычное «и» употребляется при перечислении, а обычное «или» предполагает, что мы не знаем, какое именно из соединяемых им двух высказываний истинно. В логике значения «и» и «или» упрощаются и делаются более независимыми от временной последовательности, от психологических факторов и т.п. «И» и «или» в логике коммутативны. Но «и» обычного языка, как правило, коммутативным не является. Скажем, утверждение «Он сломал ногу и попал в больницу» очевидно не равносильно высказыванию «Он попал в больницу и сломал ногу».

Дата добавления: 2014-11-16