Система сходящихся сил на плоскости и в пространстве

Система сил, линии, действия которых пересекаются одной точке, называется системой сходящихся сил (рисунок 4.1).

Так как силы можно переносить по линии их действия, то эту систему сил всегда можно заменить системой сил, приложенных к одной точке (рисунок 4.2).

Рассмотрим два способа сложения сходящихся сил: графический и аналитический.

4.1 Графический способ сложения сил

Равнодействующая двух сил, приложенных к одной точке, находится согласно аксиоме параллелограмма сил как диагональ параллелограмма, построенного на этих силах (рисунок 4.3), или как замыкающая сторона силового треугольника (рисунок 4.4). Следовательно, равнодействующая двух сил равна их геометрической сумме:

(4.1)

Рисунок 4.4

A₁

A₂

Найдем равнодействующую системы сходящихся сил . Будем складывать их последовательно по правилу силового треугольника (Рисунок 4.5).

Чтобы найти равнодействующую системы сходящихся сил графическим способом, надо построить в точке пересечения их действия силовой многоугольник на слагаемых силах, т.е. к концу вектора первой силы приложить вектор, геометрически равный второй силе и т.д.

Вектор, соединяющий начало первого слагаемого вектора с концом последнего, т.е. замыкающая сторона силового многоугольника, является равнодействующей системы сходящихся сил.

Рисунок 4.5

(4.2)

Величину , равную геометрической сумме сил какой-нибудь системы, будем в дальнейшем называть главным вектором этой системы.

4.2 Аналитический способ сложения сходящихся сил

Чтобы сложить сходящиеся силы аналитическим способом, надо вычислить проекции этих сил на оси прямоугольных координат.

Найдем проекции сил на ось, когда силы и ось лежат в одной плоскости (Рисунок 4.6).

₁

₁

₁

₁

Проекция силы на ось (по величине и по знаку) равна произведению модуля силы на косинус угла между направлением силы и положительным направлением оси.

(4.3)

Обозначим проекции сил соответственно . Из рисунка видно, что эти проекции будут равны:

; ;

; .

Теперь вычислим проекцию силы на оси прямоугольных координат в случае, когда сила произвольно расположена в пространстве (рисунок 4.7).

Разложим силу на составляющие вдоль осей координат:

или (4.4)

где – орты прямоугольных осей координат;

– проекции силы на соответствующие оси координат.

Проекции силы на оси прямоугольных координат определяются по формулам:

(4.5)

Если известны проекции силы на оси координат, то модуль силы определяется по формуле, как диагональ прямоугольного параллелепипеда:

(4.6)

А ее направление по трем направляющим косинусам:

(4.7)

Найдем равнодействующую системы сходящихся сил аналитическим способом. Известно, что равнодействующая системы сходящихся сил определяется геометрически их геометрической суммой: .

Спроектируем это векторное равенство на оси прямоугольной системы координат и найдем проекции равнодействующей :

(4.8)

Модуль равнодействующей силы определится согласно формуле (3.6):

(4.9)

А направление по трем направляющим конусам:

(4.10)

Дата добавления: 2014-11-08