Плоская система сил

7.1 Алгебраические моменты сил и пары сил

7.1.1 Алгебраический момент силы относительно центра

Когда все силы системы лежат в одной плоскости, их моменты относительно любого центра O, находящегося в той же плоскости, перпендикулярны этой плоскости, т.е. направлены вдоль одной и той же прямой. Тогда не прибегая к векторной символике, можно направление этих моментов отличать одно от другого и рассматривать момент силы относительно центра O как алгебраическую величину, которую будем обозначать .

Алгебраический момент силы относительно центра O равен взятому с соответствующим знаком произведению модуля плеча, т.е.:

(7.1)

Момент считается положительным, если сила стремится повернуть тело вокруг центра O против хода часовой стрелки и отрицательным – если по ходу часовой стрелки. Так, для сил изображенных на рисунке 7.1:

Рисунок 7.1

Следует отметить, полученные формулы (6.5) и (6.7), содержащие суммы моментов-векторов, сохраняет свой вид и для алгебраических моментов, но суммы при этом будут не векторные, а алгебраические.

7.1.2 Алгебраический момент пары

Поскольку момент пары сил равен моменту одной из ее сил относительно точки приложения другой силы, то для пар, лежащих в одной плоскости, момент пары можно рассматривать как алгебраическую величину, называть алгебраическим моментом пары и обозначать символом m (или M). При этом, алгебраический момент пары равен взятому с соответствующим знаком произведению модуля одной из сил пары на плечо пары:

(7.2)

Правило знаков здесь такое же, как и для момента силы. Так для изображенной на рисунке 7.2а, пары и момент ; а для и момент .

Рисунок 7.2

Поскольку пара сил характеризуется только ее моментом, то на рисунках пару изображают просто дуговой стрелкой, показывающей направление поворота пары (как на рисунке 7.2 б).

Полученные ранее формулы, содержащие суммы моментов-векторов, тоже сохраняют вид для алгебраических моментов, причем суммы будут алгебраическими.

7.2 Приведение плоской системы сил к простейшему виду

Результат, полученный в разделе 6.1 справедлив и для плоской системы сил. Следовательно, плоская система сил тоже приводится к силе, равной и приложенной в произвольно выбранной точке O, и паре с моментом M₀, но сила и пара лежат в данном случае в одной плоскости – плоскости действия сил (рисунок 7.3 а, где пара изображена дуговой стрелкой).

Рисунок 7.3

Значения главного вектора и главного момента M₀ вычисляются по формулам: .

При этом вектор можно определить или геометрическим построением силового многоугольника, или аналитически по формулам:

(7.3)

где все моменты в последнем равенстве алгебраические и сумма тоже алгебраическая. Найдем, к какому простейшему виду может приводиться плоская система сил, не находящихся в равновесии. Результат зависит от значения и M₀:

1. Если для данной системы сил , а , то она приводится к одной паре с моментом M₀, значение M₀ не зависит от выбора центра O.

2. Если для данной системы сил, то она приводится к одной силе, т.е. к равнодействующей, при этом возможны два случая:

a. , . В этом случае система приводится к равнодействующей, проходящей через точку O;

b. , .В этом случае пару с моментом M₀ может изобразить двумя силами и , беря , а (рисунок 7.3 б). При этом, если , то

(7.4)

Отбросив теперь силы и , как уравновешенные, найдем что система сил заменяется равнодействующей , проходящей через точку C. Положение точки C определяется двумя условиями:

1) расстояние должно удовлетворять равенству 7.4.;

2) знак момента относительно центра O силы , приложенной в точке C, т.е. знак , должны совпадать со знаком M₀.

Таким образом, плоская система сил, не находящихся в равновесии может быть окончательно приведена или к одной силе (когда ) или к паре сил (когда ).

7.3 Равновесие плоской системы сил. Случай параллельных сил

Необходимые и достаточные условия равновесия любой системы сил даются равенствами и .

Найдем вытекающие отсюда аналитические условия равновесия плоской системы сил. Их можно получить в трех различных формах.

7.3.1 Основная форма условий равновесия

Так как вектор равен нулю, когда равны нулю его проекции , то для равновесия должны выполняться равенства , а также , где – алгебраический момент, а точка О – любая точка в плоскости действия сил, но предыдущие равенства будут выполняться, когда действующие силы удовлетворяют условиям:

; ; (7.5)

Формулы (7.5) выражают аналитические условия равновесия: для равновесия произвольной плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций всех сил на каждую из двух координатных осей и сумма их моментов относительно любого центра, лежащего в плоскости действия сил, были равны нулю.

Одновременно равенства (7.5) выражают условия равновесия твердого тела, находящегося под действием плоской системы сил.

7.3.2 Вторая форма условий равновесия

Вторая форма условий равновесия: для равновесия произвольной плоской системы сил необходимо о достаточно, чтобы суммы моментов всех этих сил относительно каких-нибудь двух центров А и В и сумма их проекций на ось ОХ, не перпендикулярную прямой АВ, были равны нулю:

1) ; 2) ; 3) (7.6)

Необходимость этих условий очевидна, т.к. если любое из них не выполняется, то или , или и равновесия не будет.

Докажем их достаточность. Если для данной системы сил выполняются только первые два из условий (7.6), то есть для нее и , то система сил может иметь равнодействующую , одновременно проходящую через точки А и В – значит система не находится в равновесии. Так как ось ОХ проведена не перпендикулярно к АВ, то это возможно только тогда, когда , т.е. когда имеет место равновесие.

7.3.3 Третья форма условий равновесия (уравнение трех моментов)

Третья форма условий равновесия (уравнение трех моментов): для равновесия произвольной плоской системы сил необходимо о достаточно, чтобы суммы моментов всех этих сил относительно любых трех центров А, В и С, не лежащих на одной прямой, были равны нулю:

1) 2) 3) (7.7)

Необходимость этих условий очевидна, как и в предыдущем случае. Достаточность условия следует из того, что если при одновременном выполнении этих условий данная система сил не находилась бы в равновесии, то она должна была бы приводиться к равнодействующей, проходящей через точки А, В и С, что невозможно, т.к. эти точки не лежат на одной прямой.

Во всех рассмотренных случаях для плоской системы сил получаются три условия равновесия. Условия (7.5) считаются основными, так как при пользовании ими никаких ограничений на выбор координатных осей и центра моментов не налагается.

7.4 Равновесие плоской системы параллельных сил

В случае, когда все действующие на тело силы параллельно друг другу, можно направить ось Ох перпендикулярно силам, а ось Оу параллельно им (рисунок 7.4). Тогда проекция каждой из сил на ось Ох будет равна нулю и первое из равенств (7.5) обратится в тождество вида . в результате для параллельных сил останется два условия равновесия

1) ; 2) (7.8)

Рисунок 7.4

Вопросы для самоконтроля

1. Запишите аналитическую формулу для вычисления алгебраического момента силы относительно центра.

2. Как направлены моменты сил, лежащих в одной плоскости, и как вычислить их сумму.

3. Запишите аналитическую формулу для вычисления алгебраического момента пары.

4. Сформулируйте правила знаков.

5. В каком случае произвольная система сил приводится к одной паре?

6. В каком случае произвольная система сил приводится к равнодействующей, проходящей через точку приведения?

7. Сформулируйте необходимое и достаточное условие равновесия плоской системы сил.

8. Запишите аналитические условия равновесия плоской произвольной системы сил.

9. Сформулируйте и запишите три формы условия равновесия. Какая из них наиболее универсальна и почему?

10.Запишите условия равновесия плоской системы параллельных сил в аналитической форме.

Дата добавления: 2014-11-08