Деформации при чистом изгибе

Тема 2.6. Изгиб. Нормальные напряжения при изгибе. Расчеты на прочность.

ЛЕКЦИЯ 32

Знать распределение нормальных напряжений по сечению бал­ки при чистом изгибе, расчетные формулы и условия прочности.

Уметь выполнять проектировочные и проверочные расчеты на прочность, выбирать рациональные формы поперечных сечений.

При чистом изгибе в сечении возникает только один внутренний силовой фактор — изгибающий момент.

Рассмотрим деформацию бруса, нагруженного внешней парой сил с моментом т (рис. 32.1а)_.

При чистом изгибе выполняются гипотезы плоских сечений и ненадавливаемости слоев.

Сечения бруса, плоские и пер­пендикулярные продольной оси, после деформации остаются плоскими и пер­пендикулярными продольной оси.

Продольные волокна не давят друг на друга, поэтому слои испытывают простое растяжение или сжатие.

Действуют только нормальные на­пряжения.

Поперечные размеры сечений не меняются.

Продольная ось бруса после дефор­мации изгиба искривляется и образует дугу окружности радиуса ρ (рис. 32.1б). Материал подчиняется закону Гука.

Можно заметить, что слои, расположенные выше продольной оси, растянуты, расположенные ниже оси — сжаты (рис. 32.1 б). Так как деформации по высоте сечения меняются непрерывно, имеется слой, в котором нормальные напряжения σ равны нулю; такой слой называют нейтральным слоем (НС). Доказано, нейтральный слой проходит через центр тяжести сечения; ρ — радиус кривизны ней­трального слоя.

Рассмотрим деформа­цию слоя, расположенного на расстоянии у от ней­тральной оси (участок АВ, рис. 32.1).

Длина участка до дефор­мации равна длине нейтраль­ной оси:

Абсолютное удлинение слоя

(рис. 32.1 б).

Относительное удлинение

Относительное удлинение прямо пропорционально расстоянию слоя до нейтральной оси.

Используем закон Гука при растяжении: σ = Еε.

Получим зависимость нормального напряжения при изгибе от положения слоя:

Формула для расчета нормальных напряжений при изгибе

Рассмотрим изогнутый участок бруса dz (рис. 32.2).

d N — элементарная продоль­ная сила в точке сечения;

dA — площадь элементарной площадки;

dm — элементарный момент, образованный силой относитель­но нейтрального слоя.

Суммарный изгибающий момент сил упругости в сечении

— осевой момент инерции сечения (лекция 25). Таким образом,

Откуда: Ранее получено

После ряда преобразований получим формулу для определения нормальных напряжений в любом слое поперечного сечения бруса:

где J_x — геометрическая характеристика сечения при изгибе.

Эпюра распределения нормальных напряжений при изгибе изоб­ражена на рис. 32.3.

По эпюре распределения нор­мальных напряжений видно, что максимальное напряжение возникает на поверхности.

Подставим в формулу напряжения значение у = y_max

Получим

Отношение принято обозначать

Эта величина называется моментом сопротивления сечения при изгибе, или осевым моментом сопротивления. Размерность — мм³.

W_x характеризует влияние формы и размеров сечения на проч­ность при изгибе. Напряжение на поверхности

Дата добавления: 2014-11-18