Локально-детерміновані методи інтерполяції

До локальних детермінованих методів, що найбільш часто використовуються для моделювання безперервних поверхонь в середовищі ГІС, відносять:

· метод найближчого сусідства (полігонів Тиссена – Вороного);

· метод середнього зважування обернено пропорційно відстані (дистанції);

· метод сплайнів.

Полігони Тиссена – Вороного становлятькласифікаційну модель просторового прогнозу, яка для визначення атрибутів у необстежених місцеположеннях пропонує використовувати найближчі околи окремих точок. Полігони Тиссена – Вороного (див. 7.7.4) ділять територію способом, який повністю визначається конфігурацією мережі точок вимірювань. Якщо точки лежать на регулярній мережі, полігони Тиссена – Вороного всі дорівнюють один одному, а розмір полігона дорівнює розміру елемента регулярної мережі. Якщо точки розміщені нерегулярно в просторі, то полігони Тиссена – Вороного є різними за розміром.

Полігони Тиссена – Вороного часто використовуються в ГІС і географічному аналізі як швидкий спосіб поширення точкових даних у просторі. Проте побудований просторовий розподіл не є плавним, оскільки має місце стрибкоподібна зміна значень змінної на межах полігонів, що суперечить її дійсній безперервній зміні в просторі (наприклад, атмосферних опадів, температур повітря, концентрації забруднювачів та ін.). У зв’язку з тим що є тільки одна точка вимірювань чи спостережень на полігоні, при використовуванні даного методу немає можливості оцінки внутрішньої мінливості змінної.

Метод середнього зважування обернено пропорційно до відстані (оберненої дистанції) (Inverse Distance Method), що є частковим, але найбільш частим випадком методу середнього зваженого, або ковзного середнього зваженого, який об’єднує ідеї близькості, що використовуються методом полігонів Тиссена – Вороного, з повільними змінами трендової поверхні. Припущення, покладене в основу методу, полягає в тому, що значення атрибута z в довільній точці простору, в якій не проводилися вимірювання, є середнім зваженим по відстані із значень в точках вимірювань, розміщених по сусідству в межах певного радіуса або вікна навкруги цієї точки. В методах зворотної дистанції ваги точкових вимірювань беруться обернено пропорційними відстані до даної точки:

(8.4)

де x _j – точки (вузли), для яких повинна бути інтерпольована поверхня, а x _i – точки з відомими значеннями; d_ij – відстані («дистанції») між точками з відомими значеннями і точкою оцінювання; r – показник ступеня; n – кількість точок з відомими значеннями, що потрапляють в окіл вузла оцінювання.

Оскільки в рівнянні (8.4) при d ® 0 ® ¥ значення для вузла інтерполяції, яке збігається з точкою даних, повинне бути просто скопійовано. У зв’язку з цим даний метод належить до так званих «точних» методів інтерполяції. Найпростіша форма цієї залежності (r=1) забезпечує лінійну інтерполяцію, в якій вагові коефіцієнти обчислюються за лінійною функцією відстані між точками даних і точками інтерполяції. При r=2, тобто при значенні, яке найбільш часто використовується на практиці, метод називають методом обернено-квадратичній дистанції (рис. 8.2а ).

Метод оберненої дистанції є гнучким і малоємним з погляду використання обчислювальних ресурсів. Основні недоліки, загалом такі ж, як і у інших детермінованих методів, – відсутність методики обґрунтовування можливості або доцільності використовування у кожному конкретному випадку вагової функції вигляду (8.4), відсутність об’єктивних критеріїв вибору значення параметра r (1, 2, 3, 4,...), хоча воно може суттєво впливати на результати моделювання, і наперед невідома точність просторової інтерполяції. Специфічною особливістю вживання даного методу при великому діапазоні значень досліджуваної змінної і нерівномірному її просторовому розподілі є створення на інтерпольованій поверхні так званих “волових очей“ – областей підвищених або знижених значень овальної форми (рис. 8.2 а, б).

Метод сплайнів, або сплайн-інтерполяція, ґрунтується на використовуванні для інтерполяції в околах даного вузла кусочних поліноміальних функцій, які мають назву «функції сплайнів». Термін "сплайн" походить від англійського spline, що означає гнучку лінійку, за допомогою якої креслярі проводили через задані точки плавні криві. Для двовимірного випадку (на площині) функція сплайна, що математично еквівалентна гнучкій лінійці, є кубічним поліномом (поліномом третього ступеня), який є безперервною функцією і має безперервні першу і другу похідні. Для тривимірного випадку, коли замість лінії повинна бути інтерпольована поверхня, використовуються бікубічні сплайни – полігони третього ступеня двох координат простору. Сплайн-інтерполяція належить до точних методів інтерполяції, при яких інтерпольована лінія (двовимірний випадок) або поверхня (тривимірний випадок) у точках вимірювань збігається із виміряними значеннями.

Таким чином, задача інтерполяції з використанням бікубічних сплайнів полягає в побудові на кожному фрагменті даної території кубічного полінома, значення якого в точках вимірювань збігаються із виміряними значеннями змінної. Додатковою умовою є вимога узгодження перших і других похідних у граничних точках фрагментів і дві крайові умови (нульова або задана кривизна або нахил). Умови утворюють систему лінійних алгебраїчних рівнянь, розв’язання якої з використанням тих точкових значень змінної, що є на кожному фрагменті досліджуваної території, дозволяє знайти відповідні значення коефіцієнтів полінома.

До достоїнств сплайн-інтерполяції слід віднести високу швидкість обробки обчислювального алгоритму, оскільки сплайн – це кусочно-поліноміальна функція і при інтерполяції одночасно обробляються дані за невеликою кількістю точок вимірювань, що належать до фрагмента, який розглядається в даний момент. Інтерпольована поверхня описує просторову мінливість різного масштабу і в той самий час є гладкою. Остання обставина робить можливим прямий аналіз геометрії і топології поверхні з використанням аналітичних процедур.

Гладкість інтерпольованої поверхні, що є особливістю, внутрішньо властивою сплайн-інтерполяції, в той самий час обумовлює неможливість коректного відображення за допомогою сплайнів різких змін у поверхні–оригіналі, що є одним із недоліків методу. До недоліків також слід віднести високу залежність точності моделювання поверхні від розміщення точок вимірювань (або спостережень); особливо критичне значення має наявність точок на структурних лініях поверхні-оригіналу – вододілах і тальвегах, якщо йдеться про топографічну поверхню. Результат інтерполяції також залежить і від характеру виділення фрагментів. Окрім цього, так само, як і для інших детермінованих методів, немає методики прямих оцінок похибок, пов’язаних із сплайн-інтерполяцією.

Деякою мірою вільними від багатьох спільних для детермінованих методів просторової інтерполяції недоліків є локально-стохастичні методи, відомі під загальною назвою «кригінг». Їх характеристика дається в наступному підрозділі.

Дата добавления: 2014-11-18