Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

ФУНКЦІЇ





 

11.1. Зростання і спадання функції.

 
 

В означенні 1.17 введено поняття зростаючої і спадної функції. В цьому параграфі покажемо, як за допомогою першої похідної досліджувати функцію на монотонність.

Теорема 11.1. Необхідною і достатньою умовою зростання неперервної на і диференційованою на функції є невід’ємність її похідної на тобто:

зростає на на .

Доведення. Необхідність. Надамо аргументу х приріст і розглянемо відношення

.

Оскільки за умовою теореми – зростаюча функція, то

при ,

і

при .

В обох випадках

. (11.1)

За умовою нашої теореми

,

тому з (11.1) за теоремою 3.10 маємо . Що й треба було довести.

Достатність. Розглянемо два довільні значення аргументу х1 і х2 ( ) з відрізка . За умовою нашої теореми на відрізку для функції виконуються умови теореми Лагранжа, тому маємо

, (11.2)

де . За умовою теореми , тому з (11.2) слідує, що , тобто – зростаюча функція

Аналогічна теорема має місце і для спадної функції.

Теорема 11.2. Необхідною і достатньою умовою спадання неперервної на і диференційованою на функції є недодатність її похідної на тобто:

спадна на на

Теореми 11.1 і 11.2 мають наступний геометричний зміст:

якщо на відрізку функція зростає, то дотична до кривої в кожній точці цього відрізку утворює з віссю ОХ гострий кут або (в деяких точках) – горизонтальна, тобто тангенс цього кута не невід’ємний (рис. 11.1);

якщо функція спадна на відрізку , то кут нахилу дотичної тупий або (в деяких точках) дотична горизонтальна, тобто тангенс цього кута не додатний (рис. 11.2).

Таким чином, доведена теорема дає змогу говорити про спадання або зростання функції в залежності від знаку її похідної.

Приклад 11.1. Знайти інтервали монотонності функції

.

Розв’язування. Похідна функції рівна

.

Тому при функція спадає, так як тут , , а при функція зростає, так як – (рис. 11.3).

 

11.2.Максимум і мінімум функції.

Означення 11.1. Функція маємаксимум в точці х1 , якщо можна знайти окіл точки х1 такий, що для всіх точок цього околу виконуватиметься нерівність .



Так функція (рис. 11.4) має максимум в точках х1 і х2.

Означення 11.2. Функція має мінімум в точці х2 , якщо можна знайти окіл точки х2 такий, що для всіх точок цього околу виконуватиметься нерівність .

Отже, функція (рис. 11.4) має мінімум в точках х2 і х4.

Зауваження 11.1. Функція, яка визначена на відрізку, може досягати максимальних і мінімальних значень тільки в точках, розташованих в середині цього відрізка.

Зауваження 11.2. Максимум і мінімум функції не завжди є відповідно найбільшим і найменшим значенням функції на розглядуваному відрізку.

Наприклад, функція, яка зображена на рис. 11.4, найменше значення на відрізку набуває в точці х2 , тобто в точці мінімуму, а найбільше – в точці b, а не х1 або х3 .

 

11.3.Необхідна умова існування екстремуму.

Означення 11.3. Максимуми і мінімуми функції називають екстремумами або екстремальними значеннями функції.

Сформулюємо необхідну умову існування екстремуму функції.

Теорема 11.3. Якщо диференційована функція має в точці екстремум, то .

Доведення. Нехай в точці функція має максимум. Тоді з означення максимуму випливає, що при малих за абсолютним значенням приростах справедлива нерівність

.

Тому знак відношення

визначається знаком , тобто

при (11.3)

при . (11.4)

За означенням похідної

,

причому значення границі не залежить від того, як прямує до нуля (залишаючись від’ємним чи додатним). А з нерівностей (11.3) і (11.4) виходить, що

(11.5)

Оскільки похідна є певним значенням, то нерівності (11.5) сумісні тільки при .

Аналогічно проводиться доведення для випадку мінімуму функції

Геометричний зміст цієї теореми полягає в наступному (рис. 11.4): якщо в точках максимуму або мінімуму функція має похідну, то дотична до кривої в цих точках горизонтальна. Справді, в цьому випадку , тобто .

Наслідок 11.3. Диференційована на інтервалі функція може набувати екстремуму тільки в тих точках х, де .

Це слідує безпосередньо з теореми 11.3

Зворотній висновок неправильний: не при всіх значеннях аргументу, де похідна функції рівна нулю, існує максимум або мінімум функції.

Приклад 11.2. Похідна функції в точці дорівнює нулю, але в цій точці функція не має ні максимуму, ні мінімуму (рис. 11.5).

 

11.4. Достатня умова існування екстремуму.

Ми розглядали функцію, диференційовану на інтервалі. Але екстремум може досягатися і в точках, де похідна не існує.

Приклад 11.3. Розглянемо функцію . Її областю визначення є відрізок , а похідна

не існує в точках . Але в точці задана функція набуває максимуму: (рис. 11.6).

Приклад 11.4. Для функції похідна

не існує при . Але в цій точці функція не має ні максимуму ні мінімуму (рис. 11.7).

Таким чином, функція може набувати екстремуми тільки в точках, де похідна дорівнює нулю або не існує (зазнає розриву).

Означення 11.4. Значення аргументу, при яких похідна функції існує і дорівнює нулю або не існує (зазнає розриву), називаються критичними точками цієї функції.

Згідно з прикладами (11.2)–(11.4), не в усіх критичних точках функція набуває екстремуму.

Теорема 11.4.(достатня умова існування екстремуму). Нехай критична точка функції , яка є неперервною на інтервалі і диференційованою за всіх значень крім, можливо, точки х1 .

Тоді,

якщо похідна при переході аргументу через точку х1 зліва на право міняє свій знак з+на “–”, то в точці функція набуває максимуму;

якщо ж знак змінюється з “–” на+”, то в точці функція набуває мінімуму.

Доведення. Нехай похідна змінює знак з “+” на “–”, тобто для всіх значень х, досить близьких до х1 маємо:

Треба показати, що .

 
 

З умови теореми випливає, що функція неперервна на відрізку (або ) і диференційована на інтервалі (або ), тому за теоремою Лагранжа можна записати

, (11.6)

де z розташоване між х і х1 .



Для маємо:

, і .

Тому з (11.6) виходить, що . Аналогічно для :

, і ;

тому – . Таким чином, для всіх значень х , досить близьких до х1 , виконується нерівність , тобто в точці х1 функція набуває максимуму.

Аналогічно доводиться друга частина теореми – про достатню умову існування мінімуму

 

11.5.Дослідження функції на екстремум за

Поможем в написании учебной работы
Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой




Дата добавления: 2014-11-18; Просмотров: 445; Нарушение авторских прав?;


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Читайте также:
studopedia.su - Студопедия (2013 - 2022) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.032 сек.