Допомогою першої похідної

На підставі двох останніх теорем можна запропонувати наступну схему дослідження диференційованої функції на екстремум за допомогою першої похідної:

1) знаходимо область визначення функції;

2) знаходимо першу похідну функції;

3) шукаємо критичні точки функції:

а) точки, де похідна рівна нулю, тобто знаходимо дійсні корені рівняння ;

б) точки, де похідна зазнає розриву;

4) досліджуємо знак похідної на інтервалах між критичними точками (похідна не змінює свого знаку на інтервалі між двома сусідніми критичними точками, тому досить знайти знак похідної в одній з точок даного інтервалу);

5) знаходимо значення функції в точках екстремальних точках.

Приклад 11.5. Дослідити на екстремум функцію

.

Розв’язування. 1) Область визначення функції: .

2. Знаходимо похідну :

або

. (11.7)

3. Шукаємо критичні точки функції:

а) точки, де похідна дорівнює нулю:

.

Коренями останнього рівняння є значення .

б) точки, де похідна зазнає розриву: таких точок немає, оскільки функція (11.7) визначена на всій числовій осі.

4. Знаходимо інтервали монотонності функції. Для цього на числовій прямій відкладаємо всі критичні точки і дугами виділяємо інтервали постійного знаку похідної (рис. 11.8). Далі знаходимо знаки похідної, підставляючи в похідну (11.7) послідовно значення , , , і показуємо поведінку функції. Наприклад,

,

тому , якщо , і спадає на інтервалі . Аналогічно для інтервалів і .

5) Знаходимо екстремуми функції у:

.

11.6. Дослідження функції на екстремум за

Дата добавления: 2014-11-18