Расчет погрешностей измерений

Классы точности приборов

Класс точности средства измерения определяет пределы допускаемых основной и дополнительной погрешностей. Эти пределы выражаются в форме приведенной относительной, относительной или абсолютной погрешностей. Если аддитивная погрешность средства измерений преобладает над мультипликативной, то класс точности выражается в виде приведенной относительной погрешности:

где р – отвлеченное положительное число, выбираемое из ряда (n = 1, 0, -1, -2, -3…). Для аналоговых приборов обычно р принимает значения 0,05; 0,1; 0,2; 0,5; 1; 1,5; 2,5; 4.

Если мультипликативная погрешность средства измерения преобладает над аддитивной, то класс точности выражается через относительную погрешность:

Для средств измерений с аддитивной и мультипликативной погрешностями класс точности выражается двучленной формулой:

где и - числа из приведенного выше ряда, причем , - конечное значение диапазона измерений прибора, - измеренное значение. Обычно такой способ выражения класса точности используется для цифровых приборов, многозначных мер и приборов сравнения.

У аналоговых приборов обозначение класса точности выносится на лицевую панель. Если класс точности равен относительной приведенной погрешности, то класс точности обозначается в виде числа из приведенного выше ряда, например, 0,5. Если шкала прибора существенно неравномерная, то класс точности обозначается в виде числа с галочкой, например , а если класс точности выражается через относительную погрешность, то число из ряда заключается в скобки, например (2,5) или в окружность.

Для средств измерений с аддитивной и мультипликативной погрешностями класс точности выражается в виде дроби , например 0,02/0,01.

Погрешности измерения можно разделить на три класса:

а) систематические; б) случайные; в) промахи.

К систематическим погрешностям относятся:

- инструментальные погрешности, которые, в свою очередь, складываются из приборной погрешности (класс точности) и погрешности от взаимодействия средства измерения с источником сигнала (зависит от входного сопротивления прибора);

- дополнительные погрешности из-за влияния внешних факторов (температура, магнитное поле и т. п.);

- личные погрешности, вызываемые индивидуальными особенностями наблюдателя;

- погрешности метода измерений.

Например, погрешность от взаимодействия средства измерения с источником сигнала при измерении тока в цепи с сопротивлением и сопротивлении амперметра равна:

Погрешность от взаимодействия средства измерения с источником сигнала при измерении напряжения на участке цепи сопротивлением и сопротивлении вольтметра равна:

Эти формулы применимы и при измерении мощности и энергии электрического тока.

Приборная погрешность зависит от класса точности. Если класс точности прибора выражается через приведенную погрешность , то относительная погрешность показания прибора будет равна для амперметра:

где - показание амперметра, - его номинальное значение.

Аналогично и для вольтметра:

Если класс точности выражается через относительную погрешность , то погрешность показания равна классу точности прибора.

Дополнительные погрешности, так же относящиеся к систематическим инструментальным погрешностям, обусловлены отклонением условий измерений от нормальных.

Так, например, в схемах амперметров с шунтами, так как шунты делают из манганина (сопротивление манганина практически не зависит от температуры), приходится применять схемы температурной компенсации. В простейшем случае последовательно с рамкой включают сопротивление r₁ из манганина, рис. 1.

Рис. 1.

Тогда температурный коэффициент сопротивления цепи рамки уменьшится и температурная погрешность будет определяться формулой:

где β₀ —температурный коэффициент сопротивления цепи рамки;

r₀ — сопротивление рамки, пружинок и соединительных проводов;

r_ш — сопротивление шунта;

r₁ — добавочное сопротивление из манганина;

; - температура во время измерения.

В приборах высокого класса точности применяют последовательно-параллельную схему температурной компенсации.

При отсутствии температурной компенсации:

Температурная погрешность магнитоэлектрических вольтметров определяется формулой:

где - добавочное сопротивление из манганина.

Из формулы видно, что температурную погрешность вольтметра можно уменьшить, увеличивая добавочное сопротивление из манганина.

Для электромагнитных и электродинамических вольтметров температурная погрешность зависит от температурного коэффициента момента пружин и температурного коэффициента сопротивления катушек и определяется формулой:

где - температурный коэффициент момента пружинок (он отрицателен и составляет 0,2¸0,3% на 10°С).

Второй член этого выражения зависит от предела измерения прибора. Наибольшей погрешностью обладает вольтметр на самом низком пределе измерения, т.к. в этом случае минимально.

В электродинамических амперметрах с последовательной схемой соединения катушек и в электромагнитных амперметрах температура влияет только на упругие свойства пружин. Поэтому температурная погрешность их не превышает ±0,2% на 10°С и не требует специальных способов компенсации.

На электродинамические и электромагнитные вольтметры существенное влияние оказывает частота. Главной причиной расхождения их показаний на постоянном и переменном токе является наличие индуктивного сопротивления .

Частотная погрешность при переходе от постоянного тока к переменному рассчитывается как:

где r – сопротивление вольтметра на постоянном токе;

r_а – активное сопротивление цепи вольтметра на переменном токе.

При частотах до 2000 Гц, на которых работают эти приборы, можно считать отличие и , обусловленное вихревыми токами, в толще меди обмотки и окружающих металлических частях пренебрежимо малым. Тогда, принимая r_а r, получим:

или

Отклонение подвижной части выпрямительного прибора пропорционально средневыпрямленному значению протекающего через него тока. Поэтому измерить действующее значение переменного тока можно только в том случае, если известен коэффициент формы кривой переменного тока. Обычно шкалы выпрямительных приборов градуируются в действующих значениях при синусоидальной форме кривой, умножая для этого показания прибора на коэффициент формы =1,11 (так как для синусоиды ).

Если формы кривой отличаются от синусоидальной, в показаниях возникает погрешность, присущая методу измерения:

Методические погрешности обусловлены несовершенством метода измерения и, в частности, несовершенством схемы измерения. Так при косвенных измерениях сопротивления и мощности, потребляемой нагрузкой, методом амперметра и вольтметра обычно используют две схемы, рис. 2.

Рис. 2.

Погрешности измерения сопротивления ∆ и самого по схеме а) равны:

где и показания приборов.

Погрешности измерения по схеме б):

Субъективные или личные погрешности у опытных экспериментаторов обычно малы и ими пренебрегают по сравнению с другими составляющими суммарной систематической погрешности. Принято считать, что эта погрешность Δ_отс,п (погрешность отсчитывания) не превышает 20% от постоянной прибора, т.е.

Поскольку погрешность измерения – величина суммарная, то при прямых измерениях:

а) Для вероятности Р = 1 находят предельные значения погрешности измерения Δ_п путём арифметического суммирования предельных значений составляющих Δ_i,п:

Δ_п = ± .

Составляющими могут быть:

– основная погрешность Δ_о,п;

– дополнительные погрешности Δ_д,п;

– погрешность отсчитывания Δ_отс,п;

– погрешность взаимодействия Δ_вз,п.

При таком способе суммирования получается сильно завышенноее погрешности, ибо маловероятно, чтобы все составляющие оказались на своих пределах и были при этом одного и того же знака (плюс или минус). Зато этот способ даёт полную гарантию.

б) Для вероятности Р < 1 находят граничные значения погрешности измерения Δ_гр путём статистического суммирования предельных значений составляющих Δ_i,п:

Δ_гр = ± К .

Значение К зависит от законов распределения случайных величин Δ_i и от задаваемого значения вероятности Р. Если законы распределения неизвестны, рекомендуется принять, что для всех составляющих это закон равномерной плотности. При этом из теории вероятностей следует, что значения К при разных значениях Р соответствуют приведённым в таблице:

Р	0,9	0,95	0,99
К	0,95	1,1	1,4

Суммарная погрешность при косвенных измеренияхнаходится по аналогичным формулам.

В этом случае известна функциональная зависимость результата косвенного измерения Y от аргументов Х₁; Х₂;…Х_n:

(Пример: R = здесь Y = R; Х₁ = U; X₂ = I).

Требуется найти погрешность Δ Y, происходящую от погрешностей Δ Х₁; Δ Х₂;… Δ Х_n.

Пусть: Δ Y = Δ; Δ Х₁ = Δ₁; Δ Х₂ = Δ₂;… Δ Х_n = Δ_n, тогда по формуле полного дифференциала:

.

Предельные значения суммарной абсолютной погрешности:

Р = 1.

При Р < 1 применяют статистическое суммирование:

,

где К зависит от задаваемого значения вероятности Р так же, как при прямых измерениях (см. табл.).

Таким образом, систематические погрешности измерения при тщательной постановке опыта могут быть учтены и даже устранены.

Случайные погрешности и промахи контролю не поддаются, так как они появляются в результате одновременного действия многих различных причин. Эти погрешности подчиняются законам больших чисел, поэтому здесь возможен только статистический учет, подчиняющийся теории вероятностей.

Случайные погрешности и промахи обнаруживаются при многократных измерениях заданной величины в одних и тех же условиях.

Дата добавления: 2014-11-20