Методы численного интегрирования и дифференцирования

1. Задача. Для известной функции , определите первую и вторую производные в точке с координатой , а также интеграл в интервале от до

2. Теория. Пусть задана функция . Разобъем интервал от до на элементарные отрезки длиной , получив конечное множество узлов сетки где а -- число узлов. В результате функция непрерывного аргумента будет заменена функцией дискретного аргумента . Тогда левая, правая и центральная разностные производные первого порядка в точке с координатой соответственно равны:

Чем меньше шаг сетки , тем выше точность найденных производных.

Вторая производная определяется из выражения:

Интеграл функции численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком этой функции и пределами интегрирования Если эту трапецию разбить на прямоугольных полосок шириной , длина каждой из которых равна то площадь будет примерно равна:

Чем меньше шаг и, соответственно, больше , тем точнее найденное значение интеграла. Этот метод называется методом прямоугольников.

Более точный метод трапеций заключается в том, что каждая -ая полоска рассматривается как трапеция высотой с длинами оснований и , поэтому ее площадь равна Интеграл функции равен сумме всех элементарных площадей этих трапецевидных полосок:

Метод Монте-Карло нахождения площади криволинейной трапеции под кривой состоит в следующем. Представим себе прямоугольник, ограниченный пределами интегрирования и , осью и горизонталью внутри которого находится эта криволинейная трапеция. Площадь прямоугольника равна Задавая случайным образом координаты поместим внутрь прямоугольника точек. Подсчитаем число точек, оказавшихся внутри криволинейной трапеции, то есть удовлетворяющих условию Площадь криволинейной трапеции будет во столько раз меньше площади выбранного прямоугольника, во сколько раз меньше . Поэтому при дробь стремится к пределу, равному искомому интегралу:

3. Компьютерная программа. Самостоятельно составьте алгоритмы нахождения производных и интегралов. Ниже представлены примеры программ. Первая программа позволяет вычислить первую и вторую производные функции в точке с координатой , а также найти ее интеграл в интервале от до методом трапеций. Вторая программа определяет интеграл функции в интервале от 0 до 1 методом Монте-Карло.

Дата добавления: 2014-11-20