Комбинаторика формулалары 13 страница

Есептеулердің дұрыстығын бақылау үшін көрсетілген есептеулер бағаналар бойынша да орындалады, көбейтіндісі жиіліктің мәні жазылған тордың сол жақ бұрышына жазылады, бір бағананың сол жақ төменгі бұрышына жазылған сандардың қосындысы «V жолына» орнатылады, соңынан әр u вариантасын V- ға көбейтіліп, нәтижесі соңғы жол торларына жазылады.

« бағанасының» түгел сандарын қосып, қосындысы алынады, ол қосынды да ізделінген қосынды - ға тең болады. Мысалы, , ендеше - ке тең болады.

Ізделінген корреляциялық таңдамалы коэффициентті табайық:

қадамдарын табайық:

екендігін ескере отырып, - терді табайық:

- ті табайық:

Табылған шамаларды түзу сызықты регрессия теңдеуіне қойып, ізделінген теңдеуді аламыз:

Ал X- тің Y- ке түзу сызықты регрессиясының таңдамалы теңдеуі келесі болады:

5 5- мысал. 6- корреляциялық кестеде берілген деректерді қолданып, регрессияның таңдамалы теңдеуін табу керек.

6 кесте- Бесінші мысалдың корреляциялық кестесі.

Y	X

Шешімі: 7- есептеу кестесін құрайық:

7 кесте- Есептеу кестесі.

X
		29,33					439,95	4399,5
							1569,95	21149,5

7- кестенің соңғы жолындағы сандарды

теңдеулер жүйесіне қойып, А, В, С белгісіз коэффициенттерінен тәуелді теңдеулер жүйесін аламыз:

Бұл теңдеулер жүйесін Жордан- Гаусс әдісімен шешейік.

Енді соңғы 2 теңдеуден С- ны табуға болады:

Сөйтіп, С=17,3636; В=1,0667; A=-336,0962.

Табылған коэффициенттерді

регрессия теңдеуіне қойып, ізделінген теңдеуді аламыз:

5.6- мысал. Екі оқытушы 12 оқушының білімін 100 баллдық жүйемен бағалап, келесі бағалар қойған (1- жолда бірінші оқытушының қойған баллдар саны жазылған, 2- жолда екінші оқытушының қойған баллдар саны жазылған):

98 94 88 80 76 70 63 61 60 58 56 51

99 91 93 74 78 65 64 66 52 53 48 62

Екі оқытушының бағалары арасындағы Спирмен рангтік корреляциясының таңдамалы коэффициентін табу керек.

Шешімі: 1- оқытушының бағаларына рангтерін берейік. Бұл бағалар кему ретімен орналасқан, сондықтан олардың рангтері ретті номерлеріне тең болады:

рангтері 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

1- оқытушы (1)

бағалары 98 94 88 80 76 70 63 61 60 58 56 51

2- ші оқытушының бағаларына рангтерін берейік, ол үшін бұл бағаларды кему ретімен орналастырайық және номерлейік:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

(2)

99 93 91 78 74 66 65 64 62 53 52 48

y- тің i индексі 1- оқытушының қойған бағасының реттік номеріне сәйкес болуы керектігін ескертеміз.

- дің рангін табайық. I=1 индексі оқушының 1- қатардың 1- орында тұрған бағасын көрсетеді, ол 98- ге тең, есеп шартынан екінші оытушы 99 бағасын қойған, ол 2- қатарда бірінші болып орналасқан, сондықтан - дің рангі .

- нің рангін табайық. I=2 индексі оқушының 1- қатардың 2- орында тұрған бағасын көрсетеді, ол 94- ке тең, есеп шартынан екінші оқытушы 91 бағасын қойған, ол 2- қатарда үшінші болып орналасқан, сондықтан - нің рангі . Тура осылай , , , , , , , , , рангтерін табайық.

, рангтерінің тізбегін жазайық:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

1 3 2 5 4 7 8 6 11 10 12 9

Рангтердің айырмасын табайық:

Осылайша, , , , , , , , , , екендігіне көз жеткіздік.

Рангтердің айырмасы квадраттарының қосындысын есептейік:

n=12 екендігін ескере отырып, Спирменнің ізделінген рангтік корреляция коэффициетін табамыз:

Сөйтіп, болды.

6 ЖЕКЕ ОРЫНДАУ ТАПСЫРМАЛАРЫ

6.1 1- тапсырма. Кездейсоқ шама X- тің берілген таңдамасы бойынша негізгі эмпирикалық сипаттамаларды: математикалық күтімін, D дисперсиясын, ығыспайтын дисперсиясын, орта квадрат ауытқуын тауып, - ке сенімділік интервалын құру керек.

3.1.1 1.6 1.5 2.4 2.6 4.9 3.2 1.0 0.1 0.0 2.8 0.3 2.2 0.8 3.2 8.0 0.7 4.1 0.2 0.3 0.7

3.3 3.4 4.6 0.6 0.5 4.2 3.7 0.1 0.4 1.2 4.5 1.6 1.5 9.6 4.0 0.3 0.7 7.3 2.5 2.1

2.7 0.3 0.9 4.9 0.1 1.2 0.5 0.3 1.4 2.8 0.6 1.4 0.8 1.1 0.9 0.4 1.2 0.2 0.1 0.8

3.1.2 1.4 0.6 3.6 3.6 3.4 3.7 3.7 3.6 5.8 0.6 8.3 0.6 5.6 3.8 3.4 2.0 3.3 3.6 0. 7.0

1.2 0.7 2.1 3.0 7.5 1.2 5.1 5.7 4.5 3.0 1.3 2.1 3.7 6.4 1.0 3.7 3.7 0.9 2.2 2.4

3.4 1.3 5.7 1.4 1.2 0.6 3.6 3.4 0.7 3.7 1.6 1.1 1.3 2.2 3.7 3.5 2.3 3.2 2.7 1.4

3.1.3 0.1 1.2 0.5 2.4 2.6 4.9 3.2 1.0 0.1 0.0 2.8 0.3 2.2 0.8 3.2 0.7 1.5 0.2 0.3 0.7

3.3 3.4 4.6 0.6 0.5 4.2 3.7 0.1 0.4 1.2 4.5 0.6 0.1 1.6 1.5 7.6 4.2 0.3 0.7 7.3

2.5 2.1 2.7 0.3 0.9 4.9 0.2 1.5 1.8 0.5 2.1 0.9 1.4 0.2 1.1 0.4 5.2 0.5 1.7 1.2

3.1.4 0.0 0.4 1.5 0.7 2.9 0.3 2.1 0.6 0.2 0.3 7.4 0.2 0.8 1.3 1.5 0.3 1.0 0.1 2.5 1.2

3.5 5.2 1.3 1.0 3.3 2.5 9.6 1.6 0.5 3.1 0.8 1.9 0.0 0.5 1.5 2.1 3.0 2.3 1.0 2.3

1.5 2.2 1.4 0.3 0.9 1.2 2.3 0.3 1.1 2.0 0.2 1.3 0.4 0.1 6.2 4.4 1.4 0.9 1.7 0.5

3.1.5 0.2 0.1 1.7 0.8 4.9 0.2 2.5 0.3 2.4 0.2 1.9 0.5 1.6 1.8 0.2 2.6 1.0 0.8 4.3 1.1

0.9 2.7 0.9 5.8 1.9 0.3 2.6 1.0 0.0 1.2 1.1 2.6 1.5 2.6 0.4 0.5 0.5 0.2 2.6 1.3

0.4 0.0 2.3 0.3 1.2 0.2 2.0 1.1 0.8 1.7 3.9 1.8 2.9 0.4 2.3 3.5 0.7 4.1 1.5 0.3

3.1.6 1.8 0.4 1.5 1.7 0.2 2.4 1.0 0.7 4.0 1.1 0.9 2.5 0.8 5.4 1.8 0.3 2.4 0.9 0.0 1.1

1.0 2.5 1.4 2.5 0.2 0.5 0.4 0.2 2.4 1.2 0.4 0.0 2.2 0.3 1.1 0.2 1.9 1.0 0.8 1.6

0.8 1.1 1.3 0.9 1.6 0.3 0.3 0.8 0.1 0.1 3.6 3.0 0.3 0.7 1.3 0.8 1.2 2.6 1.3 1.1

3.1.7 0.1 6.5 0.7 0.2 1.6 2.5 7.0 0.7 4.6 5.2 4.0 2.5 0.8 1.6 3.2 5.9 0.5 3.2 0.9 0.1

3.1 3.0 2.9 3.2 3.3 3.1 5.3 0.1 7.8 0.2 5.1 3.3 2.9 1.5 2.8 3.1 3.2 0.4 1.7 1.9

2.9 0.8 5.5 0.9 0.7 0.1 3.1 2.9 0.2 3.2 1.1 0.6 0.8 1.7 3.0 1.8 2.7 2.2 0.9 5.1

3.1.8 3.3 0.8 2.9 3.2 0.3 4.5 1.8 1.4 7.5 2.0 1.6 4.7 1.5 9.8 3.4 0.5 4.6 1.7 0.1 2.1

1.9 4.6 2.7 4.6 0.3 0.9 0.8 0.4 4.5 2.3 0.7 0.0 4.1 0.6 2.0 0.3 3.5 2.0 1.4 3.0

1.4 2.2 2.5 1.8 3.0 0.5 0.5 1.5 0.3 0.2 6.7 5.6 0.6 1.3 2.5 1.5 2.3 4.8 2.5 2.1

3.1.9 4.1 1.5 3.1 1.8 1.7 1.2 2.9 1.9 3.3 1.6 3.5 2.8 2.3 2.1 2.2 5.5 3.5 4.6 6.0 2.1

1.4 1.3 1.2 4.7 2.9 3.4 3.5 2.3 5.1 3.2 1.8 6.1 2.2 5.5 3.4 3.5 2.3 1.2 1.2 1.3

2.5 1.8 7.8 5.6 3.5 3.0 1.5 1.5 3.4 4.2 5.0 3.5 7.0 6.4 5.0 3.5 2.8 7.3 2.7 3.5

3.110 2.9 0.7 2.5 2.8 0.3 4.0 1.6 1.2 6.6 1.8 1.4 4.2 1.4 9.0 3.0 0.5 4.1 1.5 0.1 1.9

1.7 4.1 2.4 4.1 0.3 0.8 0.7 0.3 4.0 2.0 0.6 0.0 3.6 0.5 1.8 0.3 3.1 1.7 1.3 2.6

1.3 1.9 2.2 1.6 2.6 0.5 0.4 1.4 0.2 0.2 6.0 5.0 0.6 1.2 2.2 1.3 2.0 4.3 2.2 1.9

3.111 5.1 2.5 4.1 2.8 2.7 2.2 3.9 2.9 4.3 2.6 4.5 3.8 3.3 3.1 3.2 6.5 4.5 5.6 7.0 3.1

2.4 2.3 2.2 5.7 3.9 4.4 4.5 3.3 6.1 4.2 2.8 7.1 3.2 6.5 4.4 4.5 3.3 2.2 2.2 2.3

3.5 2.8 8.8 6.6 4.5 4.0 2.5 2.5 4.4 5.2 6.0 4.5 8.0 7.4 6.0 4.5 3.8 8.3 3.7 4.5

3.112 5.5 2.0 4.2 2.4 2.2 1.6 3.9 2.6 4.4 2.1 4.7 3.8 3.1 2.8 2.9 7.3 4.7 6.2 8.0 2.8

1.9 1.8 1.6 6.2 3.9 4.6 4.7 3.0 6.8 4.3 2.5 2.1 3.0 7.4 4.5 4.7 3.1 1.6 1.6 1.7

3.3 2.8 9.8 7.5 4.7 4.0 2.0 1.9 4.6 5.7 4.6 9.5 8.5 6.5 4.7 3.7 9.8 3.6 4.7 2.9

3.113 2.5 0.6 2.2 2.5 0.3 3.5 1.4 1.1 5.7 1.5 1.2 3.6 1.2 7.8 2.6 0.4 3.5 1.3 0.1 1.6

1.5 3.6 2.1 3.6 0.2 0.7 0.6 0.3 3.5 1.8 0.6 0.0 3.2 0.5 1.5 0.2 2.7 1.5 1.1 2.3

1.1 1.7 1.9 1.3 2.3 0.4 0.4 1.2 0.2 0.2 5.2 4.3 0.5 1.0 1.9 1.2 1.8 3.7 1.9 1.6

3.114 6.1 3.5 5.1 3.8 3.7 3.2 4.9 3.9 5.3 3.6 5.5 4.8 4.3 4.1 4.2 7.5 5.5 6.6 8.0 4.1

3.4 3.3 3.2 6.7 4.9 5.4 5.5 4.3 7.1 5.2 3.8 8.1 4.2 7.5 5.4 5.5 4.3 3.2 3.2 3.3

4.5 3.8 9.8 7.6 5.5 5.0 3.5 3.5 5.4 6.2 7.0 5.5 9.0 8.4 7.0 5.5 4.8 9.3 4.7 5.5

3.115 2.1 0.5 1.8 2.0 0.2 2.9 1.2 0.9 4.7 1.3 1.0 3.0 1.0 6.5 2.1 0.3 2.9 1.1 0.0 1.3

1.2 2.9 1.7 2.9 0.2 0.6 0.5 0.2 2.9 1.5 0.5 0.0 2.6 0.4 1.3 0.2 2.2 1.2 0.9 1.9

0.9 1.4 1.6 1.1 1.9 0.3 0.3 1.0 0.2 0.2 4.3 3.6 0.4 0.8 1.6 1.0 1.4 3.1 1.6 1.3

3.116 5.9 3.8 5.1 4.0 3.9 3.6 4.9 4.1 5.3 3.9 5.4 4.9 4.5 4.3 4.4 7.0 5.4 6.3 7.4 4.3

3.7 3.7 3.6 6.3 4.9 5.3 5.4 4.4 6.7 5.2 4.1 7.5 4.4 7.0 5.3 5.4 4.4 3.6 3.6 3.6

4.6 4.1 8.8 7.1 5.4 5.0 3.8 3.8 5.3 6.0 5.4 8.2 7.7 6.6 5.4 4.8 8.5 4.7 5.4 5.9

3.117 6.3 3.3 5.1 3.7 3.5 3.0 4.9 3.8 5.4 3.4 5.6 4.8 4.2 4.0 4.1 7.8 5.6 6.8 8.4 4.0

3.2 3.1 2.9 6.9 4.9 5.5 5.6 4.2 7.4 5.3 3.7 8.5 4.1 7.9 5.4 5.6 4.2 3.0 3.0 3.0

4.4 3.7 9.7 7.9 5.6 5.0 3.3 3.2 5.5 6.4 7.3 5.5 9.5 8.8 7.3 5.6 4.8 9.9 4.6 5.6

3.118 4.1 4.2 3.0 1.9 2.0 2.1 3.2 2.5 8.5 6.3 4.2 3.7 2.2 2.3 4.1 4.9 5.7 4.2 7.7 7.1

5.7 4.2 3.5 7.8 3.4 4.2 4.8 2.2 3.8 2.5 2.4 1.9 3.6 2.6 4.0 2.3 4.2 3.5 3.0 2.8

2.9 6.2 4.2 5.3 6.7 2.8 2.1 2.0 1.9 5.4 3.6 4.1 4.2 3.0 5.8 3.9 2.5 6.8 2.9 6.2

3.119 2.4 0.6 2.0 2.3 0.2 3.2 1.3 1.0 5.3 1.4 1.1 3.4 1.1 7.3 2.4 0.4 3.3 1.2 0.0 1.5

1.4 3.3 1.9 3.3 0.2 0.7 0.6 0.3 3.2 1.6 0.5 0.0 2.9 0.4 1.4 0.2 2.5 1.4 1.0 2.1

1.0 1.5 1.8 1.3 2.1 0.4 0.4 1.1 0.2 0.2 4.8 4.0 0.5 0.9 1.8 1.1 1.6 3.4 1.8 1.5

3.120 3.8 2.1 4.0 3.3 2.8 2.6 2.7 6.0 4.1 5.1 6.5 2.6 1.9 1.8 1.7 5.2 3.4 3.9 4.0 2.8

5.6 3.7 2.5 6.6 2.7 6.0 3.9 4.0 2.8 1.7 1.8 1.9 2.9 2.3 8.3 6.1 4.3 3.5 2.0 2.1

3.9 4.7 5.5 3.9 7.5 6.9 5.5 4.0 3.3 7.8 3.4 3.8 4.6 1.9 3.6 2.3 2.2 1.6 3.4 2.4

3.121 7.2 9.0 4.8 2.9 2.8 2.6 7.2 4.9 5.6 5.7 4.0 5.8 5.3 3.5 3.1 4.0 8.4 5.5 5.7 4.1

2.6 2.6 2.7 4.3 3.4 9.8 8.5 5.7 5.0 3.0 2.9 5.6 6.7 5.6 6.5 3.0 5.2 3.4 3.2 2.6

4.9 3.6 5.4 3.1 5.7 4.8 4.1 3.8 3.9 8.3 5.7 9.6 8.8 7.7 5.7 4.7 9.8 4.6 5.7 3.9

3.122 1.6 0.4 1.4 1.6 0.2 2.2 0.9 0.7 3.6 1.0 0.8 2.3 0.7 5.0 1.6 0.3 2.2 0.8 0.0 1.0

0.9 2.3 1.3 2.3 0.1 0.5 0.4 0.2 2.2 1.1 0.4 0.0 2.0 0.3 1.0 0.1 1.7 1.0 0.7 1.5

0.7 1.1 1.2 0.9 1.5 0.3 0.2 0.7 0.1 0.1 3.3 2.7 0.3 0.6 1.2 0.7 1.1 2.4 1.2 1.0

3.123 5.8 3.2 4.8 3.5 3.4 2.9 4.6 3.6 5.0 3.3 5.2 4.5 4.0 3.8 3.9 7.2 5.2 5.1 5.2 4.1

2.9 2.8 3.0 4.2 3.5 9.5 7.3 5.2 4.7 3.2 3.1 5.1 5.9 6.7 6.3 7.7 3.8 3.1 3.0 2.9

6.4 4.6 5.1 5.2 4.0 6.8 4.9 3.5 7.8 3.9 7.2 5.2 8.7 8.1 6.7 5.2 4.5 9.0 4.4 5.3

3.124 5.3 6.4 3.3 2.7 3.0 2.6 5.3 3.9 4.3 4.4 3.4 5.7 4.2 3.1 6.5 3.4 6.0 4.9 2.8 4.1

3.0 2.9 2.6 3.9 3.1 4.3 2.9 4.4 3.9 3.5 3.3 3.4 6.0 4.4 4.3 4.4 3.4 2.7 2.6 2.5

3.6 3.1 7.8 6.1 4.4 4.0 2.8 3.0 4.3 5.0 4.5 7.2 6.7 5.6 4.4 3.8 7.5 3.7 4.6 4.9

3.125 5.8 2.8 4.6 3.2 3.0 2.5 4.4 3.5 4.9 2.9 5.1 4.3 3.7 3.5 3.6 7.3 5.1 6.3 8.1 3.5

2.7 2.6 2.4 6.4 4.4 5.0 5.1 3.7 6.9 4.8 3.2 8.0 3.6 7.4 4.9 5.1 3.7 2.5 3.9 2.3

3.9 3.2 9.2 7.4 5.1 4.5 2.8 2.7 5.0 5.9 6.8 5.0 9.0 8.3 6.8 5.1 4.3 9.4 4.1 5.2

6.2 2- тапсырма. Бірінші тапсырмадағы таңдамаға полигон мен гистограмма салу керек. Ықтималдықтардың келісімді теориялық үлестірілім заңдылығын таңдау керек және берілген мәнділік деңгейі таңдалып алынған теориялық үлестірілімнің эмпирикалық үлестірілімге сәйкестігі туралы болжамды тексеру керек.

6.3 3- тапсырма. Нормальдық (қалыпты) үлестірілімді кездейсоқ шама белгісіз a математикалық күтімімен және дисперсиясымен берілген. Көлемі n болатын таңдамасына

және

белгісіз параметрлерінің бағалары есептелген. Сенімділік ықтималдығы -ға сәйкес болатын a математикалық үмітіне сенімділік интервалын табу керек. (Алғашқы деректер А- қосымшасында көрсетілген).

6.4 4-тапсырма. N сынақтар нәтижесінде нормальдық кездейсоқ шама дисперсиясына ығыспайтын баға

алынды. Дисперсияның сенімділік ықтималдығы - ға сәйкес болатын сенімділік интервалын табу керек. (Алғашқы деректер А- қосымшасында көрсетілген).

6.5 5-тапсырма. Нысанаға n атыс жүргізілгенде m рет нысанаға тигізілді. Нысанаға тигізу ықтималдығы p үшін сенімділік ықтималдығы - ға сәйкес болатын сенімділік интервалын табу керек. (Алғашқы деректер А- қосымшасында көрсетілген).

ӘДЕБИЕТТЕР ТІЗІМІ

1 В.Е.Гмурман. «Теория вероятностей и математическая статистика», Москва «Высшая школа»,1977

2 В.Е.Гмурман. «Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике», Москва «Высшая школа»,1979

3 Е.И.Гурский. «Сборник задач по теории вероятностей и математической статистике», Москва «Вышэйшая школа»,1984

4 В.Ф.Чудесенко «Сборник заданий по специальным курсам высшей математики», Москва «Высшая школа»,1983

5 Н.Ақанбай «Ықтималдықтар теориясының, математикалық статистиканың және кездейсоқ процестер теоричсының негіздері», Алматы «Қазақ университеті», 2005

6 В.П. Лисьев Г.Т.Мусатаева «Теория вероятностей и математическая статистика», МУ, Усть- Каменогорск6 ВКГТУ, 1999

7 Главная редакция терминологических словарей. Казахско- русский, русско - казахский терминологический словарь, «Математика» Алматы, «Рауан», 1999

8 Хисамиев Н.Г. Тыныбекова С.Д. Конырханова А.А. Математика. ВКГТУ, 2006

9 Кітапбаев М.К. Тарасов И.Д. Тарасова Л.П. Жаксыгунова Ж.Т. Жоғары математика. ШҚМТУ, 2004

10 Конырханова А.А. Ықтималдықтар теориясы. Әдістемелік нұсқаулар. ШҚМТУ, 2004

11 Жаксыгунова Ж.Т. Математикалық статистика. Әдістемелік нұсқаулар. ШҚМТУ, 2006

12 Жаксыгунова Ж.Т. Ықтималдықтар теориясы. Әдістемелік нұсқаулар. ШҚМТУ, 2008

ҚОСЫМШАЛАР

А қосымшасы

А.1 кесте- Жеке орындау тапсырмаларының берілген мәндері

№	3- тапсырма	4- тапсырма	5- тапсырма
	2,1	0,5		0,8			0,98
	2,1	0,5		0,9		1,5	0,98
	2,1	0,5		0,95			0,8
	2,1	0,5		0,98		0,2	0,98
	1,7	0,8		0,8			0,95
	1,7	0,8		0,9			0,96
	1,7	0,8		0,95			0,8
	1,7	0,8		0,98			0,96
	2,1	0,5		0,9			0,8
	2,1	0,5		0,95			0,9
	2,1	0,5		0,98			0,98
	2,1	0,5		0,8			0,9
	1,7	0,8		0,9			0,8
	1,7	0,8		0,95			0,96
	1,7	0,8		0,98			0,98
	1,7	0,8		0,8			0,8
	2,1	0,5		0,95			0,8
	2,1	0,5		0,98			0,96
	2,1	0,5		0,8		3,5	0,98
	2,1	0,5		0,9			0,96
	1,7	0,8		0,95			0,9
	1,7	0,8		0,98			0,9
	1,7	0,8		0,8			0,96
	1,7	0,8		0,9			0,9
	2,1	0,5		0,98			0,98
	2,1	0,5		0,8			0,96
	2,1	0,5		0,9			0,9
	2,1	0,5		0,95			0,8
	1,7	0,8		0,98			0,9
	1,7	0,8		0,8			0,96
	1,7	0,8		0,9			0,98

Дата добавления: 2014-11-08