Высшая математика

Двойные и тройные интегралы

Контрольные задания для студентов – заочников

второго курса всех специальностей

Контрольная работа № 5

Н. Новгород

1999 г.

I ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ФОРМУЛЫ

I.I. ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ

I. Определение двойного интеграла

Пусть даны: 1) область Д на плоскости х, у;

2) функция двух переменных Z = f (х,у).

Выполним следующее вычисление:

1) разобьем область Д на произвольное число частей произвольных размеров и формы;

2) в каждой части выберем произвольную точку;

3) в каждой из этих точек вычислим значение данной функции;

4) умножим каждое их этих значений на площадь соответствующей части;

5) все такие произведения сложим.

Получившееся число называется ИНТЕГРАЛЬНОЙ СУММОЙ функции f (х,у) в области Д.

Он обозначается

2. Вычисление двойного интеграла

Пусть область Д. ограничена снизу графиком функции у=у₁(х), а сверху графиком функции у=у₂(х).

Для вычисления двойного интеграла

1) спроектируем область Д. на ось х;

Проекцией будет некоторый промежуток [а,в] на этой оси:

2) зафиксируем на промежутке [а,в] произвольную точку х и приведем через нее вертикальную прямую. Будем передвигаться по ней в направлении возрастания у: при этом f будет функцией Толькой одной переменной у.

Вычислим интеграл этой функции вдоль участка вертикальной прямой, расположенного в области Д.,

;

3) величина этого интеграла зависит от того, какое взято х, т.е. является функцией от х. Найдем ее интеграл по промежутку а ≤ х ≤ в. Можно доказать, что получившееся число равно искомому двойному интегралу

3. Моменты инерции пластинки

Пусть дана однородная материальная пластинка Д.. Поверхностную плоскость (массу, приходящуюся на единицу площади) обозначим ρ.

Найдем J₀ - момент инерции пластинки относительно начала координат:

1) разобьем пластинку Д. на какое-либо число n достаточно мелких частей произвольной формы. Их площади обозначим ∆ S_к (к=1,2,…, n);

2) найдем массы отдельных частей ρ · ∆S_к;

3) в каждой части выберем произвольную точку (х_к, у_к);

4) приближенно найдем момент инерции каждой части, считая ее массу сосредоточенной в точке (х_к, у_к)

;

5) момент инерции всей пластинки будет

;

6) это равенство тем точнее, чем мельче отдельные части. Следовательно, точное равенство получим, перейдя к пределу при стремлении размеров отдельных частей к нулю, а их числа к бесконечности

:

7) здесь под знаком предела стоит интегральная сумма функции в области Д.. Следовательно, сам предел есть интеграл этой функции по области Д.

.

Рассуждение, с помощью которого получена эта формула, типично. Сходным образом, как двойные интегралы, вычисляются и многие другие физические величины, связанные с пластинкой. В частности, так получаются формулы для моментов инерции относительно осей и для площади пластинки, приведенные ниже.

Моменты инерции пластинки Д. относительно начала координат J₀, оси абсцисс J_х, оси ординат J_у равны (поверхностная плотность ρ, как постоянная вынесена за знак интеграла)

; ; .

4. Площадь

Площадь S пластинки Д равна

.

1.2. ТРОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ

5. Определение тройного интеграла

Пусть даны:

1) область W в трехмерном пространстве х, у, z;

2) функция трех переменных u = f(x,y,z);

Выполним следующее вычисление:

1) разобьем область W на произвольное число частей произвольных размеров и формы;

2) в каждой части выберем произвольную точку;

3) в каждой из этих точек вычислим значение данной функции;

4) умножим каждое их этих значений на объем соответствующей части;

5) все такие произведения сложим.

Получившееся число называется ИНТЕГРАЛЬНОЙ СУММОЙ функции f(x,y,z) в области W.

Предел интегрально суммы, когда размеры всех частей стремятся к нулю, а их число к бесконечности, называется ТРОЙНЫМ ИНТЕГРАЛОМ функции f(x,y,z) по области W.

Он обозначается .

6. Вычисление тройного интеграла

Пусть область W ограничена снизу графиком функции z=z₁(x,y), а сверху графиком функции z=z₂(x,y).

Для вычисления тройного интеграла

1) спроектируем область W на плоскость х, у. Проекцией будет некоторая область Д на этой плоскости;

2) зафиксируем в области Д. произвольную точку (х, у) и проведем через нее вертикальную прямую. Будем передвигаться по ней в направлении возрастания z; при этом f будет функцией только одной переменной z. Вычислим интеграл этой функции вдоль участка вертикальной прямой, расположенного в области W.

;

3) величина этого интеграла зависит от того, какая взята точка (х,у), т.е. является функцией двух переменных х и у. Найдем ее интеграл по области Д. Можно доказать, что получившееся число равно искомому тройному интегралу

7. Моменты инерции тела

Подобно тому, как физические величины, связанные с пластинкой, вычисляются как двойные интегралы, те же величины, связанные с пространственным телом, вычисляются как тройные интегралы.

Например, вывод формулы для момента инерции J₀ тела относительно начала координат делается точно также, как и соответствующей формулы для пластинки (пункт 3) с заменой площадей частичных областей на объемы.

Моменты инерции однородного тела W относительно начала координат J₀, оси абсцисс J_х, оси ординат J_y и оси аппликат J_z равны

,

,

Здесь ρ - объемная плотность.

8. Объем

Объем V тела W равен

V =

1.3. ТЕОРИЯ ПОЛЯ

9. Поток. Определение

Если в каждой точке (х, у, z) некоторой пространственной области задан вектор, то говорят, что в этой области задано векторное поле. Например, поле скоростей текущей жидкости, поле векторов напряженности электрического заряда.

Пусть заданы:

1) векторное поле ;

2) кусок некоторой поверхности;

3) направление вектора единичной нормали к куску (направление нормали можно задать двумя способами. Например, если - часть сферы, то нормаль может смотреть стрелкой в центр сферы, а может - в противоположном направлении).

Выполним следующее вычисление:

1) разобьем кусок на произвольное число N частей произвольных размеров и формы;

2) в каждой части выберем произвольную точку (); ;

3) для каждой из этих точек найдем соответствующий вектор поля и вектор единичной нормали ;

4) вычислим скалярные произведения ;

5) умножим каждое из этих произведений на площадь ∆S_m соответствующей частичной области. Получатся числа ;

6) сложив все эти числа, получим сумму ;

Предел этой суммы, когда размеры частичных областей стремятся к нулю, а их число к бесконечности называется ПОТОКОМ векторного поля через кусок поверхности J в направлении нормали .

Он обозначается .

10. Гидромеханический смысл потока

Если - поле скоростей текущей несжимаемой жидкости, то поток есть выраженное в единицах объема количество жидкости, протекающей в единицу времени через кусок поверхности J в направлении нормали . При этом количество жидкости, протекающее через те части куска J, где угол между векторами и острый, берется со знаком плюс, а через части, где этот угол тупой, - со знаком минус.

11. Вычисление потока

Пусть кусок J есть некоторая часть графика функции . Тогда вычисление потока сводится к вычислению двойного интеграла по формуле

,

где Д есть проекция куска J на плоскость х, у. Знак плюс перед двойным интегралом берется тогда, когда нормаль направлена вверх, минус - когда вниз.

12. Дивергенция

ДИВЕРГЕНЦИЕЙ векторного поля называется скалярная величина, обозначаемая и равна .

Гидромеханический смысл дивергенции:

Пусть есть поле скоростей текущей сжимаемой жидкости. Кроме того, что такая жидкость движется, она сжимается или растягивается. Если в какой-то точке дивергенция отрицательна, то вблизи этой точки имеет место объемное сжатие, если положительна - растяжение. Абсолютная величина дивергенции служит мерой растяжения - сжатия жидкости вблизи этой точки.

13. Формула Остроградсткого

Нормаль к замкнутой поверхности может быть «внешней», если она направлена изнутри вовне, или «внутренней», если она направлена внутрь области, ограниченной поверхностью.

Поток поля через замкнутую поверхность в направлении внешней нормали можно вычислить по формуле Остроградского

.

где W - область, ограниченная поверхность .

14. Линейный интеграл. Определение

Дугу (кусок линии), на которой выбрано одно из двух возможных направлений, назовем направленной. Будем ее обозначать двумя буквами: первая - начало дуги, вторая - конец. Так что, если говорим о дуге АВ, то это означает, что на ней выбрано направление от А к В.

Пусть задано векторное поле

и направленная дуга АВ.

Выполним следующее вычисление:

1) разобьем дугу на произвольное число N частей произвольной длины:

2) вместе с каждой частичной дугой рассмотрим вектор

;

Начало которого совпадает с начальной точкой дуги, а конец - с конечной;

3) на каждой частичной дуге выберем произвольную точку ();

4) для каждой из этих точек найдем соответствующий вектор поля

.

5) составим скалярные произведения

;

6) найдем сумму этих произведений

;

7) предел этой суммы, когда длины частичных дуг стремятся к нулю, а их число к бесконечности, называется ЛИНЕЙНЫМ ИНТЕГРАЛОМ векторного поля вдоль направленной дуги АВ (или вдоль пути АВ). Он обозначается , или

.

15. Вычисление линейного интеграла

Пусть дуга АВ есть кусок линии, заданной параметрическими уравнениями , причем точка А получается при , а точка В - при . Тогда вычисление линейного интеграла сводится к вычислению определенного интеграла в соответствии с формулой

.

16. Механический смысл линейного интеграла

Если - поле сил, то линейный интеграл есть работа, совершаемая силой при перемещении материальной точки из положения А в положение В по дуге АВ.

17. Ротор

РОТОРОМ векторного поля называется вектор, обозначаемый =

При вычислении определителя умножение символа частной производной (например, ) на функцию (например, Q) понимают как вычисление соответствующей частной производной ().

18. Гидромеханический смысл ротора

Пусть - поле скоростей текущей жидкости. Тогда , найденный для какой-нибудь точки, характеризует вращение жидкости вблизи этой точки. Именно:

1) прямая, на которой расположен ротор, будет осью, вокруг которой вращение происходит наиболее интенсивно;

2) глядя от конца ротора, увидим вращение жидкости, происходящим против часовй стрелки;

3) длина ротора является мерой интенсивности вращения жидкости.

19. Формула Стокса

Линейный интеграл вдоль замкнутого контура λ называется ЦИРКУЛЯЦИЕЙ и обозначается . Выбранное направление указывается дополнительно.

Циркуляцию можно вычислить по формуле Стокса

Здесь ζ - кусок любой поверхности, ограниченный контуром λ. Единичная нормаль к этому куску выбирается так, чтобы, глядя с ее конце, видеть движение по контуру в выбранном направлении, происходящим против часовой стрелки.

Словами эта формула читается так: циркуляция векторного поля вдоль какого-либо контура равна потоку ротора через любую поверхность, натянутую на контур.

20. Потенциальное поле

Векторное поле на плоскости называется ПОТЕНЦИАЛЬНЫМ, если существует такая функция , что . При этом называется ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ФУНКЦИЕЙ поля .

Теорема (признак потенциальности).

Если , то поле потенциально.

21. Линейный интеграл в потенциальном поле

Линейный интеграл в общем случае зависит как от положения точек А и В, так и от формы соединяющего их пути.

Теорема. В потенциальном поле линейный интеграл не зависит от формы пути.

Вследствие этого линейный интеграл в потенциальном поле обозначается или

(с указанием начальной и конечной точек пути интегрирования или их координат, без указания самого пути, который выбирается произвольно).

22. Отыскание потенциальной функции

Пусть поле потенциально.

Его потенциальную функцию можно найти по формуле

где С - произвольная постоянная.

23. Формула Ньютона-Лейбница для линейного интеграла

Если известна потенциальная функция , то линейный интеграл в потенциальном поле можно вычислить по формуле Ньютона-Лейбница ,

т.е. линейный интеграл в потенциальном поле равен разности значений потенциальной функции в конечной и начальной точках пути интегрирования.

24. Механический смысл формулы Ньютона-Лейбница

Если - потенциальное силовое поле, то значение потенциальной функции в какой-либо точке, взятое с противоположным знаком, называют потенциалом поля в этой точке.

В соответствии с механическим смыслом линейного интеграла (пункт 16) формула Ньютона-Лейбница истолковывается следующим образом:

Работа, совершаемая силами потенциального поля при перемещении материальной точки по некоторому пути, равна разности потенциалов в начальной и конечной точках пути и не зависит от формы пути.

II. ОБРАЗЕЦ ВЫПОЛНЕНИЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

1. Вычислить двойной интеграл , где область D ограничена линиями х=0, у=х, у=4-х. Изобразить область D.

РЕШЕНИЕ. Используя формулу вычисления двойного интеграла .

получим

2. Используя тройной интеграл, найти объем тела W, расположенного в первом октанте и ограниченного поверхностями z = 1- х/2 и у= 1 – х² совместно с координатными плоскостями. Изобразить тело W и его проекцию D на плоскость х, у.

РЕШЕНИЕ.

Уравнение z = 1- х/2 на плоскости z, х определяет прямую линию, а в пространстве - плоскость, проходящую через эту линию и параллельную оси у.

Уравнение у= 1 – х² на плоскости х, у определяет параболу, а в пространстве - цилиндрическую поверхность - цилиндрическую поверхность, проходящую через эту параболу и параллельную оси z.

Оставив от цилиндрической поверхности лишь часть, расположенную под плоскостью, изобразим тело W.

Используя формулу вычисления тройного интеграла

,

получим

3. Дано: 1) вертикальное поле ;

2) плоскости (р) и у= 12 (q), совместно с координатными плоскостями ограничивающие тело W.

Для поля найти:

1) поток через кусок поверхности тела W, принадлежащий плоскости р в направлении внешней нормали ;

2) поток через полную поверхность σ тела W в направлении внешней нормали (использовать формулу Остроградского);

3) линейный интеграл вдоль ребра АВ тела W, расположенного на линии пересечения плоскостей р и q. Ребро проходится в направлении убывания координаты х;

4) циркуляцию вдоль контура λ, ограничивающего кусок . Конур обходится против часовой стрелки, если смотреть сверху. (использовать формулу Стокса).

Сделать рисунок.

РЕШЕНИЕ.

1)

2)

По формуле Остроградского

3) общие уравнения прямой АВ будут

Положим х = t и получим параметрические уравнения х = t, y=12, z = 10 – t.

Тогда А получается при t = 10, точка В - при t = 0.

В соответствии с формулой вычисления линейного интеграла

имеем

4)

Применим формулу Стокса, взяв кусок в качестве поверхности, натянутой на контур λ.

4. Дано векторное поле

Нужно:

1) убедиться, что потенциально;

2) найти потенциальную функцию (используя линейный интеграл);

3) сделать проверку;

4) используя потенциальную функцию, найти линейный интеграл .

РЕШЕНИЕ:

Следовательно, поле потенциально.

2)

В качестве пути интегрирования возьмем изображенную на рисунке ломаную линию

Параметрические уравнения горизонтального участка будут , причем точка (0,0) получается при t = 0, а точка (х,0) при t = x.

Параметрические уравнения вертикального участка будут , причем точка (х,0) получается при t = 0, а точка (х, у) при t = y.

3) проверка

, .

4) .

III. ЗАДАНИЕ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ № 5.

2. Используя тройной или двойной интеграл, найти объем тела W, расположенного в первом октанте и ограниченного указанными поверхностями совместно с плоскостями координат.

2.00 Ζ = 2-х, у=1-х^2/4	2.13 Ζ = 1-у^2, у=1-х^2
2.01 Ζ = 1-х. у=1-х^2	2.14 Ζ = 2-х^2 / 2, у=1-х
2.02 Ζ = 1-у, у=1-х^2	2.15 Ζ = 1-х^2/ 4, у = 1-х^2
2.03 Ζ = 1-х^2, у=1-х^2	2.16 Ζ = 1-х^2, у=1-х^2 / 4
2.04 Ζ = 1-х^2, у=1-х	2.17 Ζ = 1-х^3 / 4, у=1-х
2.05 Ζ = 1-х^2/4, у= 1- х^2/4	2.18 Ζ = 1-х^2, у=1-х/2
2.06 Ζ = 1-х^2. у= (1-х^2)/2	2.19 Ζ = 1-у/2, у=1-х^2
2.07 Ζ = 1-х^2/4, у=1-х/2	2.20 Ζ = 2-у^2/2, у=1-х/2
2.08 Ζ = 1-у, у=1-х^2 / 4	2.21 Ζ = 2-у^2/2, у=1-х^2/4
2.09 Ζ = , у=	2.22 Ζ = 1-х, у= 1-х^2/4
2.10 Ζ = 1-у^2, у=1-х^2/4	2.23 Ζ = 1-у^2, у=(1-х^2)/2
2.11 Ζ = 1-х^2/4, у=(1-х^2)/2	2.24 Ζ = 1-у^2, у=(1-х)/2
2.12 Ζ = , у =

Студент выполняет работу по варианту, номер которого равен остатку от деления его шифра на 25. Например, если шифр оканчивается на 82, то номер варианта 07.

Литература

Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов. – М.: Наука, 1970. – т.2.

Дата добавления: 2014-12-08