Смешанное произведение

Векторное произведение

Векторным произведением векторов и называется вектор , обладающий следующими свойствами:

1) ;

2) ;

3) вектор направлен так, как направлен винт при вращении его по кратчайшему расстоянию от первого перемножаемого вектора ко второму.

Из определения следует:

1) ;

2) - площадь параллелограмма, построенного на векторах и .

3) - площадь треугольника, построенного на векторах и .

Если заданы координаты векторов , то

или ,

где - единичные векторы на осях ОХ, ОY, OZ.

Пример (см.задание 1.4)

Найти площадь грани А₁А₂А₃, если А₁(-1,2,0), А₂(-2,0,4), А₃ (-3,3,0).

Решение.

.

Тогда .

.

Площадь грани равна: .

Ответ: .

Если вектор умножить векторно на вектор , а потом получившийся вектор скалярно умножить на вектор , то полученное число называется смешанным произведением трех векторов.

Обозначается: .

Если известны координаты векторов , то

.

Можно доказать, что модуль смешанного произведения численно равен объему параллелепипеда, построенного на векторах , как на сторонах, т.е.

- объем параллелепипеда.

- объем пирамиды.

Пример (см.задание 1.5)

Найти объем пирамиды с вершинами А₁(0,-1,2), А₂(-1,0,6), А₃(-2,1,0), А₄(0,1,4).

Решение.

.

.

Тогда объем пирамиды:

.

Ответ: .

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Дата добавления: 2014-12-08