Плоскость в пространстве

Прямая в пространстве

каноническое уравнение прямой в пространстве, проходящей через точку A₁(x₁, y₁, z₁), параллельно вектору .

-- направляющий вектор.

Замечание. Если обращается в ноль одна из координат направляющего вектора, например m, то уравнение прямой принимает вид:

-

это прямая, лежащая в плоскости x=x₁.

Если равны нулю две координаты направляющего вектора, например m=n=0, то уравнение прямой примет вид:

- эта прямая есть пересечение двух плоскостей x=x₁ и y=y₁, то есть параллельна оси OZ.

- уравнение прямой, проходящей через две точки .

Пример (см. задание 1.6)

Составим уравнение прямых А₁, А₂ и А₁А₃.

А₁(2, 0, 3), А₂(-1, 0, 8), А₃(0, 2, 4).

Воспользуемся уравнением прямой, проходящей через две точки:

;

;

-- уравнение прямой A₁A₂.

Эта прямая лежит в плоскости (т.е. в плоскости OXZ) и ее уравнение можно записать так:

.

-уравнение плоскости, проходящей через точку , перпендикулярно вектору - нормали к плоскости.

-- уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки .

Если две плоскости заданы общими уравнениями:

то по уравнениям двух плоскостей можно определить их нормали .

На основании теоремы об углах, образованных взаимно перпендикулярными сторонами, один из углов между плоскостями можно определить как угол между нормалями по формуле:

.

Пример (см.задание 1.7)

Составить уравнение плоскости А₁А₂А₃, если А₁(2, 0,,3), А₂(-1, 0, 8), А₃(0,2,4).

Воспользуемся уравнением плоскости, проходящей через три точки:

,

,

.

Раскроем определитель:

(x-2)∙0+y∙5∙(-2)+(z-3)∙(-3)∙2-(z-3)∙0-(x-2)∙2∙5-y∙(-3)∙1=0;

-10(x-2)-7y-6(z-3)=0;

-10x-7y-6z+38=0 –

уравнение плоскости А₁А₂А₃.

Дата добавления: 2014-12-08