Обоснование метода. Знание напряженности гравитационного поля Земли во всех точках крайне необходимо для решения многих научных и практических задач

Знание напряженности гравитационного поля Земли во всех точках крайне необходимо для решения многих научных и практических задач. Оно необходимо при запусках ракет, в гравиметрической (гравитационной) разведке полезных ископаемых, в решении многих вопросов геодинамики и космологии и т. д.

Наиболее удивительным свойством гравитационных сил, отличающим их от всех других сил в природе, является их способность сообщать всем телам независимо от массы одинаковые ускорения. Поэтому, если пренебречь сопротивлением воздуха и вращением Земли, силу тяготения при свободном падении можно определить по второму закону Ньютона . В то же время, согласно выражению (2), . Приравняв правые части этих уравнений, получаем равенство напряженности гравитационного поля и ускорения свободного падения, т. е. . Из равенства величин следует равенство их единиц измерения:

Таким образом, для нахождения напряженности гравитационного поля Земли достаточно определить ускорение свободного падения.

Величина g может быть найдена путем взвешивания или из опытов по свободному падению тел. Более точно ее можно найти, измеряя период колебаний математического или физического маятника.

Физическим маятником называют любое твердое тело, совершающее колебания под действием сил тяготения относительно неподвижной горизонтальной оси подвеса не проходящей через центр масс тела (рис.2).

При малых колебаниях физический маятник совершает гармонические колебания с периодом (временем одного полного колебания), определяемым по формуле:

(6)

где – приведенная длина физического маятника;

– момент инерции маятника относительно оси, проходящей через точку (ось качания);

– его масса;

– расстояние от точки подвеса до центра масс маятника.

Точка , лежащая на прямой на расстоянии от точки подвеса маятника , называется центром качания физического маятника. Точка подвеса и центр качания для любого физического маятника обладают свойством взаимозаменяемости. Если ось подвеса сделать проходящей через центр качания , то точка прежней оси подвеса совпадает с новым центром качаний, а приведенная длина и период колебаний маятника останутся прежними. Колеблющийся маятник также обладает свойством изохронности, т. е. его период колебания при малых отклонениях не зависит от амплитуды.

Математический маятник – это идеализированная система, состоящая из материальной точки массой , подвешенной на невесомой нерастяжимой нити, колеблющаяся под действием силы тяготения. Хорошим приближением математического маятника является небольшой тяжелый шарик, подвешенный на тонкой длинной нити.

Момент инерции математического маятника определяется выражением:

, (7)

где – длина маятника.

Математический маятник можно представить как частный случай физического маятника, предположив, что вся масса сосредоточена в одной точке – центре масс, тогда, подставив выражение (7) в формулу (6), получим выражение для периода малых колебаний математического маятника:

. (8)

Из сопоставления формул (8) и (6) видно, что приведенная длина физического маятника – это длина такого математического маятника, период колебаний которого равен периоду колебаний данного физического маятника.

Воспользуемся физическим маятником в виде массивного шарика, подвешенного на нити. Приведенной длиной маятника следует считать расстояние от точки подвеса до центра качания маятника.

Однако измерить эту величину на опыте невозможно, поэтому применим способ, исключающий необходимость ее точного измерения. Из рисунка 3 видно, что , где – расстояние от точки подвеса до центра масс шарика, – некоторое расстояние от центра качания до центра масс. Если измерить периоды колебаний этого маятника при двух значениях приведенной длины и взять их разность, то тем самым исключаются неизвестные значения и и остается только разность . Для и из формулы (6) имеем:

и

Вычитая из первого выражения второе, получим:

Отсюда

. (9)

Дата добавления: 2014-12-08