Кинематика

Задача К1

Точка В движется в плоскости xy (рис. К1.0–К1.9, таблица К1; траектория точки на рисунках показана условно). Закон движения точки задан уравнениями: x = f 1(t), y = f 2(t), где x и y выражены в сантиметрах, t – в секундах.

Найти уравнение траектории точки; для момента времени t 1 =1с определить скорость и ускорение точки, а также её каса- тельное и нормальное ускорения и радиус кривизны в соответ- ствующей точке траектории. Построить участок траектории. Нанести на чертёж вектора скорости, касательного, нормально- го и полного ускорений в выбранном масштабе.

Зависимость x = f 1(t) указана непосредственно на рисун- ках, а зависимость y = f 2(t) дана в табл. К1 (для рис. 0–2 в столб- це 2, для рис. 3–6 в столбце 3, для рис. 7–9 в столбце 4). Как и в задачах С1–С5, номер рисунка выбирается по предпоследней цифре шифра, а номер условия в табл. К1 – по последней.

УКАЗАНИЯ. Задача К1 относится к кинематике точки и решается с помощью формул, по которым определяются ско- рость и ускорение точки в декартовых координатах (коорди-

натный способ задания движения точки), а также формул, по которым определяются касательное и нормальное ускорения точки.

В данной задаче все искомые величины нужно определить только для момента времени t 1 = 1с.

Номер

y = f 2 (t)

Таблица K1

условия Рис. 0–2 Рис. 3–6 Рис. 7–9

1 2 3 4

ç

t

÷

0 12sinæ p ö

è 6 ø

2 t 2 + 2

4co æ p

sç

è 6

t ö - 2

÷

ø

sç

t

÷

1 - 4 - 6co æ p ö

è 3 ø

8sinæ p ö

ç

t

÷

è 4 ø

14 - 16cos2 æ p ö

ç

t

÷

è 6 ø

ç

t

÷

2 - 3sin 2 æ p ö

è 6 ø

(2 + t)2

4cosæ p ö

ç

t

÷

è 3 ø

ç

3 9sinæ p

è 6

4 æ p

t ö - 4

÷

ø

ö

2 t 3

æ p ö

- 10cosæ p ö

ç

t

÷

è 6 ø

æ p ö

3cosç

è 3

t ÷ - 2

ø

2 + 2 cosç t ÷

è 4 ø

- 4cos2 ç t ÷

è 6 ø

5 æ p ö

8 - 12cosæ p t ö

- 10sin ç t ÷

è 6 ø

2 - 3 t 2

ç ÷

è 3 ø

ç

t

÷

6 2 - 6sin 2 æ p ö

è 6 ø

2 - 2sinæ p ö

ç

t

÷

è 4 ø

3cosæ p ö

ç

t

÷

è 6 ø

2sinç

è 6

t ÷ - 2

ø

(t +1)3

6 - 8cosç t ÷

è 3 ø

sç

8 9co æ p

ç

è 3

t ö + 5

÷

ø

2 - t 3

9cosæ p

ç

t

ç

t

÷

÷

è 6

t ö - 3

÷

ø

ç

t

÷

9 3 - 8sinæ p ö

4cosæ p ö

- 6 cosæ p ö

у В у у

sç

t

÷

x = 2 - 3co æ p ö

è 6 ø

0 х

x = 6 co æ p

sç

è 6

t ö - 3

÷

ø

х

x = 4co æ p ö

sç

t

÷

è 6 ø

0 х

Рис. К1.0 Рис. К1.1 Рис. К1.2

у у у

x = 2 - t

0 х

x = 2 t

x = t - 4

х 0 х

Рис. К1.3 Рис. К1.4 Рис. К1.5

у у

x = 4 - 2 t

0 х

x = 12sinæ p ö

ç

t

÷

è 6 ø

0 х

Рис. К1.6 Рис. К1.7

у у

ç

t

÷

x = 4 - 6sinæ p ö

è 6 ø

x = 8sinæ p

ç

è 6

t ö - 2

÷

ø

0 х 0 х

Рис. К1.8 Рис. К1.9

Задача К 2

Механизм состоит из ступенчатых колёс 1 – 3, находящих- ся в зацеплении или связанных ременной передачей, зубчатой рейки 4 и груза 5, привязанного к концу нити, намотанной на одно из колёс (рис. К2.0–К2.9, табл. К2). Радиусы ступеней ко- лёс равны соответственно: у колеса 1 – r 1 = 2 см, R 1 = 4 см; у ко- леса

2 – r 2 = 6 см, R 2 = 8 см; у колеса 3 – r 3 = 12 см, R 3 = 16 см. На ободах колёс расположены точки А, В и С.

В столбце «Дано» таблицы указан закон движения или за- кон изменения скорости ведущего звена механизма, где j1(t) –

закон вращения колеса 1,

S 4 (t)

– закон движения рейки 4,

ω2 (t)

– закон изменения угловой скорости колеса 2, V 5(t) – за-

кон изменения скорости груза 5 и т.д. (везде φ выражено в ра- дианах, S – в сантиметрах, t – в секундах). Положительное на- правление для φ и ω против хода часовой стрелки, для S 4, S 5 и V 4, V 5 – вниз.

Определить в момент времени t 1 = 2 c указанные в табли-

це в столбцах «Найти» скорости (V – линейные, ω – угловые) и

ускорения (а – линейные, ε – угловые) соответствующих то- чек или тел (V 5 – скорости груза 5 и т.д.).

УКАЗАНИЯ. Задача К2 – на исследование вращательного движения твёрдого тела вокруг неподвижной оси. При реше- нии задачи учесть, что когда два колеса находятся в зацепле- нии, скорость точки зацепления имеет у колеса одну и ту же величину, а когда два колеса связаны ремённой передачей, то все точки ремня и, следовательно, точки, лежащие на ободе каждого из этих колес, имеют в данный момент времени чис- ленно одинаковые скорости; при этом считается, что ремень по ободу колеса не скользит.

Номер

Дано

Найти

Таблица K2

условия

Скорости Ускорения

0 S 4 = 4(7 t–t 2)

1 υ5 = 2(t 2 – 3)

2 φ1 = 2 t 2–9

3 ω2 = 7 t– 3 t 2

4 φ3 = 3 t–t 2

5 ω1 = 5 t– 2 t 2

VB, VC VA, VC V 4, ω2 V 5, ω3 V 4, ω1 V 5, VB

ε2, aA, a 5 ε3, aB, a 4 ε2, aC, a 5 ε2, aA, a 4 ε1, aB, a 5 ε2, aC, a 4

6 j 2

= 2(t 2 - 3 t)

V 4, ω1

ε1, aC, a 5

7 υ4 = 3 t 2 – 8

8 s 5 = 2 t 2–5 t

9 ω3 = 8 t– 3 t 2

VA, ω3

V 4, ω2

V 5, VB

ε3, aB, a 5

ε1, aC, a 4

ε2, aA, a 4

Рис. К2.0

Рис. К2.1

Рис. 2.2

Рис. 2.3

Рис. 2.4

Рис. 2.5

Рис. 2.6

Рис. 2.7

Рис. 2.8

Рис. 2.9

Задача К3

Плоский механизм состоит из стержней 1, 2, 3, 4 и ползу- на В или Е (рис. К3.0–К3.7) или же из стержней 1, 2, 3 и ползу- нов В и Е (рис. К3.8, К3.9), соединённых друг с другом и с не- подвижными опорами О 1, О 2 шарнирами; точка D находится в середине стержня АВ. Длины стержней равны соответственно: l 1 = 0,4 м, l 2 = 1,2 м, l 3 = 1,4 м, l 4 = 0,6 м. Положение механизма определяется углами α, β, γ, φ, θ. Значение этих углов и других заданных величин указаны в табл. К3, а (для рис. 0–4) или в табл. К3, б (для рис. 5–9); при этом в табл. К3, а ω1 и ω4 – вели- чины постоянные.

Определить величины, указанные в таблицах в столбцах

«Найти».

Дуговые стрелки на рисунках показывают, как при по- строении чертежа механизма должны откладываться соответст- вующие углы: по ходу или против хода часовой стрелки (на- пример, угол g на рис. 8 следует отложить от DB по ходу часо- вой стрелки, а на рис. 9 – против часовой стрелки и т.д.). По- строение чертежа следует начинать со стрежня, направление которого определяется углом a.

Заданные угловую скорость и угловое ускорение считать направленными против хода часовой стрелки, а заданные ско-

рость VB и ускорение aB

– от точки В к b (на рис. 5–9).

УКАЗАНИЯ. Задача К3 – на исследование плоскопарал- лельного движения твёрдого тела.

Рис. К3.0 Рис. К3.1

Рис. К3.2

Рис. К3.4

Рис. К3.6

Рис. К3.3

Рис. К3.5

Рис. К3.7

Рис. К3.8 Рис. К3.9

Таблица К3, а (к рис. К3.0–К3.4)

Углы Дано Найти

ω1,	ω4,
1/с	1/с

							–	B, E	DE	B	AB
						–		A, E	AB	A	AB
							–	B, E	AB	B	AB
						–		A, E	DE	A	AB
							–	D, E	AB	B	AB
						–		A, E	AB	A	AB
							–	B, E	DE	B	AB
						–		A, E	DE	A	AB
							–	D, E	AB	B	AB
						–		A, E	DE	A	AB

Таблица К3, б (к рис. К3.5–К3.9)

Углы Дано Найти

ω1,	ε1,	VB,	аB,
1/с	1/с2	м/с	м/c2

–

–

B, E

AB

B

AB

–

–

A, E

DE

A

AB

–

–

B, E

AB

B

AB

–

–

A, E

AB

A

AB

–

–

B, E

DE

B

AB

–

–

D, E

DE

A

AB

–

–

B, E

DE

B

AB

–

–

A, E

AB

A

AB

–

–

B, E

DE

B

AB

–

–

D, E

AB

A

AB

Задача К4

Прямоугольная пластина (рис. К 4.0–К 4.4) или круглая пластина радиуса R = 60 см (рис. К4.5– К4.9) вращается вокруг неподвижной оси по закону j = f 1(t), заданному в таблице К4. Положительное направление отсчёта угла j показано на рисун- ках дуговой стрелкой. На рис. 0, 1, 2, 5, 6 ось вращения перпен- дикулярна плоскости пластины и проходит через точку О (пла- стина вращается в своей плоскости); на рис. 3, 4, 7, 8, 9 ось вра- щения ОО 1 лежит в плоскости пластины (пластина вращается в пространстве).

По пластине вдоль прямой BD (рис. 0–4) или по окружно- сти радиуса R (рис. 5–9) движется точка М; закон её относи- тельного движения, т.е. зависимость S = АМ = f 2(t) (S – выра-

жено в сантиметрах, t – в секундах), задан в таблице отдельно для рис. 0–4 и для рис. 5–9; там же даны размеры a и h.

На рисунках точка М показана в положении, при ко- тором S = AM > 0 (при S < 0 точка М находится по другую сторону от точки А.

Найти абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки М в момент времени t 1 = 1с.

УКАЗАНИЯ. Задача К4 – на сложное движение точки. Для её решения применяются теоремы о сложении скоростей и о сложении ускорений.

Рис. К4.0 Рис. К4.1 Рис. К4.2

Рис. К4.3 Рис. К4.4 Рис. К4.5

Рис. К4.6 Рис. К4.7

Рис. К4.8 Рис. К4.9

Для всех

Таблица К4

Для рис. 0–4 Для рис. 5–9

рисун- ков

а, S = AM = f 2

см

(t)

h, S = AM =

см

f 2 (t)

j = fi (t)

0 4(t 2 - t)

12 50(3 t - t 2)- 64

R = p R (4 t 2

- 2 t 3)

1 3 t 2 - 8 t

16 40(3 t 2 - t 4)- 32 4

R

3

p R (2 t 2 - t 3)

2 6 t 3 -12 t 2

3 t 2 - 2 t 3

10 80(t 2 - t)+ 40

16 60(t 4 - 3 t 2)+ 56

R = p R (2 t 2

R (4

- 1)

2)

4 10 t 2 - 5 t 3 8

80(2 t 2 - t 3)- 48

p R t

R (

– 3 t

2)

5 2(t 2 - t) 20

60(t 3 - 2 t 2)

p R 3 t - t

R (3)

6 5 t - 4 t 2

12 40(t 2 - 3 t)+ 32 3

p R t

p

– 2 t

R R (t 3 - 2 t 2)

4 2

7 15 t - 3 t 3 8

60(t - t 3)+ 24

R = p R (t - 5 t 2)

8 2 t 3 - 11 t 10

50(t 3 - t)- 30

R = p R (3 t 2 - t)

9 6 t 2 - 3 t 3 20

40(t - 2 t 3)- 40 4

R

3

p R (t - 2 t 2)

СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

Основная:

1. Тарг, С.М. Краткий курс теоретической механики

/ С.М. Тарг. – М.: Высшая школа, 2004 и предыдущие.

2. Яблонский, А.А. Курс теоретической механики / А.А. Яблонский, В.М. Никифорова. – СПб.: Изд-во

«Лань», 2001 и предыдущие.

3. Никитин, Н.Н. Курс теоретической механики / Н.Н. Никитин. – М.: Высшая школа, 2003 и предыдущие.

4. Курс теоретической механики / под ред. К.С. Ко- лесникова. – М.: МГТУ им. Баумана, 2002. – 736 с.

5. Яблонский, А.А. Сборник заданий для курсовых работ по теоретической механике / А.А. Яблонский, С.С. Нарейко [и др.]. – М.: Интеграл-пресс, 2002. – 384 с (со- держит примеры решения задач).

Дополнительная:

6. Айзенберг, Т.Е. Руководство к решению задач по теоретической механике / Т.Е. Айзенберг, И.М. Воро нков, В.М. Осецкий. – М., 1965 и последующие издания.

7. Бать, М.И., Теоретическая механика в примерах и задачах. Ч. I, 2 / М.И. Бать, Г.Ю. Джанелидзе, А.С. Кель- зон. – М.: Наука, 1964 и последующие издания.

8. Бражниченко, Н.А. Сборник задач по теоретиче- ской механике / Н.А. Бражниченко, В.Л. Кан, Б.Л. Минц- берг, В.И. Морозов, Г.Н. Ушакова. – М.: Высшая школа, 1967.

9. Гернет, М.М. Курс теоретической механики. – М., 1970 и последующие издания.

10. Воронков, И.М. Курс теоретической механики / И.М. Воронков – М., 1954 и последующие издания.

Дата добавления: 2014-12-08