Примеры

Параграф 11. Трансцендентность показательной, логарифмической и тригонометрической функций.

Теорема 1. Показательная функция у=а^х, где а> 0 и отлично от 1, является трансцендентной функцией.

Доказательство:

Требуется показать, что показательная функция не удовлетворяет никакому алгебраическому уравнению.

Допустим обратное.

Теорема 2. Логарифмическая функция с основание больше нуля и отличным от 1 является трансцендертной.

Доказательство:

Предположим, что функция у=log_a (x) является алгебраической функцией. Значит она удовлетворяет алгебраическому уравнению P (x, y)=0 в промежутке (0, +беск), где многочлен отличен от нуля.

Воспользуемся определением логарифма:

Теорема 3. Тригонометрические функции числового аргумента являются трансцендентными функциями.

Доказательство:

Было показано, что основные тригонометрические функции числового аргумента, пеииодические функции. Значит, одно и тоже значение c эти функции принимают в бесконечном ряде различных точек. Предположим, что эти функции алгебраические, то есть каждая из них в некотором промежутке (область определения функции) удовлетворяет некотооому алгебраическому уравнению P (x, y)=0. Степень алгебраического уравнения относительно переменной у определяется степенью вхождения переменной у в запись уравнения - это конкретное целое число.

Тогда уравнение P (x, c)=0 будет иметь бесконечное число решений, но алгебраическое уравнение имеет конечное число решений, равное высшей степени этого уравнения. Мы получили противоречие, которое отвергает наше допущение.

Следовательно, основные тригонометрические функции являются трансцендентными функциями.

Параграф 12. Алгебра графиков.

1. Сложение и вычитание графиков.

1. Если необходимо построить график суммы двух функций, то нужно построить графики этих функций на одном чертеже, потом при каждом x сложить ординаты двух функций.

2. Если необходимо построить график разности двух функций, то этот случай сводится к построению суммы y=f (x)+(-g (x)). Причём график функции y=-g (x) получается из графика функции y=g (x) путём симметричного отражения отражения относительно оси Ох.

В случае, когда вторая функция постоянна, то графическое сложение означает сдвиг графика первой функции по вертикали на эту постоянную.

2. Произведение графиков.

В плоскости Оху выполнить построение каждого графика на общей части их областей определения. При умножении графиков при фиксированной абсциссе точки перемножаются ординаты этой точки.

Полезно обращать внимание на характерные точки обоих графиков.

3. Отношение графиков.

В плоскоти координат построить график данных функций. В тех точках, где функция, являющаяся делителем, принимает значения, равные нулю, мы будем иметь вертикальные асимптоты для данного графика.

4. Построение сложных функций.

Построить график внутренней функции. Дальнейшее построение вести по характерным точкам.

Дата добавления: 2014-12-08