Частные случаи общего уравнения прямой

Выясним особенности расположения прямой относительно аффинной системы координат , если некоторые из чисел А, В и С равны нулю.

1) Пусть С =0. Тогда уравнение прямой примет вид: . Подставляя координаты точки в это уравнение, убеждаемся, что получается верное равенство

,

следовательно, , т.е. прямая проходит через начало координат.

Обратно, пусть . Тогда .

Итак, .

2) Пусть . Тогда . Учитывая, что , получаем, что .

Обратно, если , то .

Итак, .

При этом уравнение имеет вид или (где ).

3) Утверждение «» предлагаем читателю доказать самостоятельно.

Из пунктов 1) и 2) следует пункт

4) А =0 и С =0 совпадает с осью . В этом случае прямая (т.е. ось ) задается уравнением .

Из пунктов 1) и 3) следует пункт

5) В =0 и С =0 совпадает с осью . В этом случае прямая (т.е. ось ) задается уравнением .

Задания для самостоятельной работы

1. Дано общее уравнение прямой , . Получите из него для прямой каноническое, параметрическое уравнения, уравнение с угловым коэффициентом и уравнение «в отрезках».

2. Дано параметрическое уравнение прямой :

Получите из них общее уравнение прямой .

3. Найдите двумя способами (пользуясь частным случаем общего уравнения прямой и пользуясь различными уравнениями прямой) уравнение прямой, проходящей:

а) через точку параллельно оси ;

б) через точку параллельно оси ;

в) через начало координат и точку .

4. Выведите условие параллельности вектора и прямой, заданной в аффинной системе координат общим уравнением .

5. Прямая задана в прямоугольной системе координат общим уравнением . Выведите условие перпендикулярности вектора и прямой .

§17. Основные аффинные задачи,

связанные с прямой на плоскости (обзор)

1. Геометрический смысл знака трехчлена .

Теорема 1. Если в аффинной системе координат прямая задана уравнением , то полуплоскости с границей определяются неравенствами и .

Сформулированная теорема, выражающая геометрический смысл знака трехчлена , позволяет выяснять, лежат ли две точки по одну сторону от прямой или по разные стороны. Рассмотрим простейший пример.

Задача 1. Выяснить, пересекает ли прямая отрезок , если .

Решение. Определим знак трехчлена в точке .

Определим знак трехчлена в точке .

Следовательно, точки и лежат по разные стороны от данной прямой, поэтому прямая пересекает отрезок .

Выяснение расположения точек относительно прямой, в свою очередь, применяется при решении геометрических задач, связанных с нахождением условий, определяющих внутренние области углов, треугольников или полос.

2. Взаимное расположение двух прямых.

Теорема 2. Пусть в аффинной системе координат прямая задана уравнением - уравнением .

1) Прямые и пересекаются тогда и только тогда, когда коэффициенты при и в их уравнениях не пропорциональны, т.е.

;

Чтобы найти координаты точки пересечения прямых и , надо решить систему уравнений и .

2) Прямые и параллельны тогда и только тогда, когда коэффициенты при и пропорциональны, а свободные члены им не пропорциональны, т.е.

;

3) Прямые и совпадают тогда и только тогда, когда коэффициенты при и и свободные члены в их уравнениях пропорциональны, т.е.

.

Рассмотрим пример применения этой теоремы.

Задача 2. Выяснить взаимное расположение прямых и .

Решение. Находим из уравнений прямых .

Отношение мы найти не можем, т.к. делить на 0 нельзя. Поэтому поменяем прямые местами и найдем отношения

.

Следовательно, прямые и пересекаются. Отношение находить уже нет необходимости.

Задача 3. Найти уравнение прямой, проходящей через точку и параллельной прямой .

Решение. Пусть - искомая прямая.

Заметим, что задачу можно решить разными способами. Например, взяв за направляющий вектор прямой направляющий вектор прямой (т.к. , то ), можно воспользоваться каноническим уравнением прямой .

Но мы решим задачу, используя теорему 2.

Из теоремы 2 следует, что так как , то общее уравнение прямой будет иметь вид:

,

т.е. можно считать, что отличаться уравнения прямых и будут только свободными членами.

Чтобы найти С, используем то, что . Подставляя координаты точки в уравнение прямой , найдем С: .

Тогда

.

3. Пучок прямых. Уравнение пучка прямых.

Множество всех прямых плоскости, проходящих через данную точку , называется пучком прямых. Точка называется центром этого пучка.

Множество всех прямых плоскости, параллельных данной прямой , называется пучком параллельных прямых.

Пучок прямых определяется заданием его центра , пучок параллельных прямых – заданием ненулевого вектора , параллельного прямым пучка.

Теорема 3. Пусть известны в аффинной системе координат уравнения двух прямых пучка с центром в точке :

,

.

Тогда уравнение пучка прямых с центром будет иметь вид:

,

где - действительные числа, не равные нулю одновременно. Они определяют некоторую прямую пучка.

Геометрический смысл и : это координаты направляющего вектора прямой в базисе (рис. 60).

Рассмотрим пример применения этой теоремы.

Задача 4. Найти уравнение прямой , проходящей через точку и через точку пересечения прямых и .

Решение. Заметим, что искомое уравнение можно найти, вычислив координаты точки пересечения прямых и и применив уравнение прямой, заданной двумя точками. Но при решении системы уравнений прямых и получаются громоздкие вычисления.

Поэтому задачу лучше решить по теореме 3. Запишем уравнение пучка прямых с центром в точке :

, (18)

где .

Так как , то искомая прямая принадлежит данному пучку. Найдем и , определяющие . Так как , то ее координаты удовлетворяют уравнению (18):

. Подставим в уравнение (18): . Заметим, что (действительно, если , то - противоречие с условием ).

Разделим обе части уравнения на :

; .

Задания для самостоятельной работы

1. В аффинной системе координат задана прямая уравнением . Какая фигура определяется условием: а) ; б) ?

2. Верно ли утверждение, что прямая пересекает отрезок , где , тогда и только тогда, когда и почему?

3. Даны треугольник с вершинами и прямая . Существует ли на прямой точки, являющиеся внутренними точками треугольника ?

4. Существуют ли значения коэффициентов А и В, при которых прямые, заданные уравнениями и , параллельны?

5. Какой вид имеет уравнение прямой, параллельной прямой и проходящей через: а) начало координат; б) точку ?

6. Дано уравнение пучка прямых . Докажите, что прямые и принадлежат этому пучку.

Дата добавления: 2014-12-10