Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Частные случаи общего уравнения прямой

Читайте также:
  1. I. Нормативные акты общего действия
  2. IV. Тепловые эффекты химических реакций. Термохимические уравнения и расчёты
  3. V. Процессы соотнесения общего формального знания с единичными объектами
  4. VIII. Ионные уравнения реакций
  5. Алгоритм решения линейного дифференциального уравнения первого порядка
  6. Алгоритм составления уравнения касательной
  7. Анализ общего объема и ассортиментной структуры розничного товарооборота 1 страница
  8. Анализ общего объема и ассортиментной структуры розничного товарооборота 2 страница
  9. Анализ уравнения теплового баланса
  10. Анализ устойчивости по виду корней характеристического уравнения.
  11. Анализ устойчивости по решению дифференциального уравнения системы.
  12. Анализ финансового положения предприятия (частные показатели)



Выясним особенности расположения прямой относительно аффинной системы координат , если некоторые из чисел А, В и С равны нулю.

1) Пусть С=0. Тогда уравнение прямой примет вид: . Подставляя координаты точки в это уравнение, убеждаемся, что получается верное равенство

,

следовательно, , т.е. прямая проходит через начало координат.

Обратно, пусть . Тогда .

Итак, .

2) Пусть . Тогда . Учитывая, что , получаем, что .

Обратно, если , то .

Итак, .

При этом уравнение имеет вид или (где ).

3) Утверждение « » предлагаем читателю доказать самостоятельно.

Из пунктов 1) и 2) следует пункт

4) А=0 и С=0 совпадает с осью . В этом случае прямая (т.е. ось ) задается уравнением .

Из пунктов 1) и 3) следует пункт

5) В=0 и С=0 совпадает с осью . В этом случае прямая (т.е. ось ) задается уравнением .

 

 

Задания для самостоятельной работы

1. Дано общее уравнение прямой , . Получите из него для прямой каноническое, параметрическое уравнения, уравнение с угловым коэффициентом и уравнение «в отрезках».

2. Дано параметрическое уравнение прямой :

Получите из них общее уравнение прямой .

3. Найдите двумя способами (пользуясь частным случаем общего уравнения прямой и пользуясь различными уравнениями прямой) уравнение прямой, проходящей:

а) через точку параллельно оси ;

б) через точку параллельно оси ;

в) через начало координат и точку .

4. Выведите условие параллельности вектора и прямой, заданной в аффинной системе координат общим уравнением .

5. Прямая задана в прямоугольной системе координат общим уравнением . Выведите условие перпендикулярности вектора и прямой .

 

 

§17. Основные аффинные задачи,

связанные с прямой на плоскости (обзор)

 

 

1. Геометрический смысл знака трехчлена .

Теорема 1. Если в аффинной системе координат прямая задана уравнением , то полуплоскости с границей определяются неравенствами и .

Сформулированная теорема, выражающая геометрический смысл знака трехчлена , позволяет выяснять, лежат ли две точки по одну сторону от прямой или по разные стороны. Рассмотрим простейший пример.

Задача 1. Выяснить, пересекает ли прямая отрезок , если .

Решение. Определим знак трехчлена в точке .

Определим знак трехчлена в точке .

Следовательно, точки и лежат по разные стороны от данной прямой, поэтому прямая пересекает отрезок .

Выяснение расположения точек относительно прямой, в свою очередь, применяется при решении геометрических задач, связанных с нахождением условий, определяющих внутренние области углов, треугольников или полос.



2. Взаимное расположение двух прямых.

Теорема 2. Пусть в аффинной системе координат прямая задана уравнением - уравнением .

1) Прямые и пересекаются тогда и только тогда, когда коэффициенты при и в их уравнениях не пропорциональны, т.е.

;

Чтобы найти координаты точки пересечения прямых и , надо решить систему уравнений и .

2) Прямые и параллельны тогда и только тогда, когда коэффициенты при и пропорциональны, а свободные члены им не пропорциональны, т.е.

;

3) Прямые и совпадают тогда и только тогда, когда коэффициенты при и и свободные члены в их уравнениях пропорциональны, т.е.

.

Рассмотрим пример применения этой теоремы.

Задача 2. Выяснить взаимное расположение прямых и .

Решение. Находим из уравнений прямых .

Отношение мы найти не можем, т.к. делить на 0 нельзя. Поэтому поменяем прямые местами и найдем отношения

.

Следовательно, прямые и пересекаются. Отношение находить уже нет необходимости.

Задача 3. Найти уравнение прямой, проходящей через точку и параллельной прямой .

Решение. Пусть - искомая прямая.

Заметим, что задачу можно решить разными способами. Например, взяв за направляющий вектор прямой направляющий вектор прямой (т.к. , то ), можно воспользоваться каноническим уравнением прямой .

Но мы решим задачу, используя теорему 2.

Из теоремы 2 следует, что так как , то общее уравнение прямой будет иметь вид:

,

т.е. можно считать, что отличаться уравнения прямых и будут только свободными членами.

Чтобы найти С, используем то, что . Подставляя координаты точки в уравнение прямой , найдем С: .

Тогда

.

3. Пучок прямых. Уравнение пучка прямых.

Множество всех прямых плоскости, проходящих через данную точку , называется пучком прямых. Точка называется центром этого пучка.

Множество всех прямых плоскости, параллельных данной прямой , называется пучком параллельных прямых.

Пучок прямых определяется заданием его центра , пучок параллельных прямых – заданием ненулевого вектора , параллельного прямым пучка.

Теорема 3. Пусть известны в аффинной системе координат уравнения двух прямых пучка с центром в точке :

,

.

Тогда уравнение пучка прямых с центром будет иметь вид:

,

где - действительные числа, не равные нулю одновременно. Они определяют некоторую прямую пучка.

Геометрический смысл и : это координаты направляющего вектора прямой в базисе (рис. 60).

Рассмотрим пример применения этой теоремы.

Задача 4. Найти уравнение прямой , проходящей через точку и через точку пересечения прямых и .

Решение. Заметим, что искомое уравнение можно найти, вычислив координаты точки пересечения прямых и и применив уравнение прямой, заданной двумя точками. Но при решении системы уравнений прямых и получаются громоздкие вычисления.

Поэтому задачу лучше решить по теореме 3. Запишем уравнение пучка прямых с центром в точке :

, (18)

где .

Так как , то искомая прямая принадлежит данному пучку. Найдем и , определяющие . Так как , то ее координаты удовлетворяют уравнению (18):

. Подставим в уравнение (18): . Заметим, что (действительно, если , то - противоречие с условием ).

Разделим обе части уравнения на :

; .

 

Задания для самостоятельной работы

1. В аффинной системе координат задана прямая уравнением . Какая фигура определяется условием: а) ; б) ?

2. Верно ли утверждение, что прямая пересекает отрезок , где , тогда и только тогда, когда и почему?

3. Даны треугольник с вершинами и прямая . Существует ли на прямой точки, являющиеся внутренними точками треугольника ?

4. Существуют ли значения коэффициентов А и В, при которых прямые, заданные уравнениями и , параллельны?

5. Какой вид имеет уравнение прямой, параллельной прямой и проходящей через: а) начало координат; б) точку ?

6. Дано уравнение пучка прямых . Докажите, что прямые и принадлежат этому пучку.

 





Дата добавления: 2014-12-10; Просмотров: 196; Нарушение авторских прав?;


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Читайте также:



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2017) год. Не является автором материалов, а предоставляет студентам возможность бесплатного обучения и использования! Последнее добавление ip: 54.80.33.183
Генерация страницы за: 0.016 сек.