Метод дифференциального исчисления

Метод дифференциального исчисления является теоретической основой количественной оценки влияния отдельных факторов на изменение результативного (обобщающего) показателя. В основу метода положена формула Тейлора:

(4.5)

где f – функция; х _i – факторы; ρ – евклидова норма вектора приращения факторов; 0(ρ) – функция бесконечно малая, порядка выше ρ, т.е. убывающая при ρ → 0 быстрее, чем ρ.

При использовании этого метода предполагается, что общее приращение функции (результативного признака) раскладывается на слагаемые. Значение каждого из слагаемых (кроме последнего) определяется умножением соответствующей частной производной (взятой при начальных значениях факторов) на изменение фактора, по которому вычислена данная производная. Если функция у=f(a,b) дифференцируема, то используя формулу Тейлора, ее приращение можно выразить как:

(4.6)

где Δу=у₁-у₀ — изменение функции (результативного показателя);

Δа =а₁-а₀ — изменение фактора а;

Δb = b₁-b₀ — изменение фактора b;

0() — бесконечно малая величина (остаточный член или логическая ошибка метода дифференцирования) более высокого порядка, чем ().

Таким образом, влияние факторов а и b на изменение результативного показателя определится по формулам:

Cумма Δу_а и Δу_b представляет собой главную, линейную относительно приращения факторов часть приращения дифференцируемой функции. Параметр 0() мал при достаточно малых изменениях факторов, при значительных изменениях переменных остаточный член может существенно отличаться от нуля.

Рассмотрим применение метода дифференцирования в решении задачи прямого детерминированного факторного анализа для двухфакторной мультипликативной модели.

Необходимо определить влияние факторов на изменение объема товарной продукции. Значения результативного показателя и факторов приведены в таблице 4.1

Таблица 4.1

Исходные данные для факторного анализа

Наименование показателей	Начальный период	Конеч ный период	Абсолют ное отклонение
1.Объем товарной продукции, тыс. грн. (у)			-93
2.Численность рабочих, чел. (а)			-10
3.Средняя выработка одного рабочего за период, тыс.грн. (b)	10.2	10.3	+0.1

Условием задачи задана мультипликативная двухфакторная система у=аb. Определим влияние факторов на изменение объема товарной продукции.

Влияние изменения численности рабочих на изменение объема товарной продукции:

Δу_а=b₀∆a=10,2x(-10)= -102 тыс.грн.

Влияние изменения средней выработки одного рабочего на изменение объема товарной продукции:

Δу_b=a₀Δb=100x0,1=10 тыс. грн.

Легко доказать, чему равен остаточный член равенства:

0 ()= Δу - Δу_а+ Δу_b=(a₁b₁ –a₀b₀) - b₀ ∆a- a₀ Δb=(a₁b₁ –a₀b₀) - b₀ (a₁-a₀)-

a₀ (b₁-b₀)= a₁b₁ – a₀b₀ – a₁b₀+a₀b₀ – a₀b₁ +a₀b₀ = a₁(b₁-b₀)- a₀(b₁-b₀)=(a₁-a₀)(b₁-b₀)=∆a∆b.

Таким образом, в данной задаче величина остаточного члена или т.н. неразложимого остатка равна:

∆a∆b= - 10 х 0,1= -1тыс.грн.

Баланс отклонений:

Δу = Δу_а+ Δу_b + ∆a∆b= -102+10 –1= -93 тыс.грн.

По результатам решения задачи можно сделать вывод, что объем товарной продукции за анализируемый период уменьшился на 93 тыс.грн. На изменение результативного показателя факторы оказывали разнонаправленное действие. Так, при уменьшении численности рабочих на 10 человек объем товарной продукции уменьшился на 102 тыс.грн. Рост выработки одного рабочего на 0.1 тыс.грн за анализируемый период позволил увеличить объем товарной продукции на 10 тыс.грн. Следовательно, уменьшение объема товарной продукции было вызвано уменьшением величины экстенсивного фактора (численности рабочих).

В методе дифференцирования неразложимый остаток, который интерпретируется как логическая ошибка данного метода, вносит погрешность при определении величин влияния факторов. В этом состоит неточность рассматриваемого метода.

4.3. Метод цепных подстановок

Метод цепных подстановок используется для определения влияния отдельных факторов на соответствующий результативный показатель. Этот способ анализа используется для решения задачи прямого детерминированного факторного анализа с любым типом факторных систем.

Метод цепных подстановок заключается в получении ряда промежуточных значений результативного показателя путём последовательной замены начальных (базисных, плановых и др.) значений факторов на конечные значения (фактические, прогнозируемые). Разность каждого последующего и предыдущего значения результативного показателя в цепи подстановок покажет величину влияния соответствующего фактора на изменение результативного показателя.

Методика расчетов с помощью метода цепных подстановок в общем виде:

у₀ = f (a₀ b₀ c₀ d₀) – начальное (базисное) значение результативного показателя;

y_а = f (a₁ b₀c₀ d₀) – промежуточное значение результативного показателя;

y_b = f (a₁ b₁c₀ d₀) – промежуточное значение;

y_c = f (a₁ b₁c₁d₀) – промежуточное значение;

y_d = y₁= f (a₁ b₁c₁d₁) – конечное (фактическое) значение результативного показателя.

Общее абсолютное изменение обобщающего показателя определяется по формуле:

Δу= у₁-у₀ = f (a₁ b₁c₁d₁) - f (a₀ b₀c₀ d₀).

Общее изменение обобщающего показателя раскладывается по факторам:

а) за счет изменения фактора а —

Δу_а= у_а - у₀ = f (a₁ b₀c₀ d₀) - f (a₀ b₀c₀ d₀),

б) за счет изменения фактора b —

Δу_b= у_b – y_a== f (a₁ b₁c₀ d₀) - f (a₁ b₀c₀ d₀),

в) за счет изменения фактора c —

Δу_c= у_c – y_b = f (a₁ b₁c₁d₀) - f (a₁ b₁c₀ d₀),

г) за счет изменения фактора d —

Δу_d= у _d– y_c = f (a₁ b₁c₁d₁)- f (a₁ b₁c₁d₀).

Степень влияния того или иного фактора выявляется последовательным вычитанием: из второго расчета вычитается первый, из третьего — второй и т. д. В первом расчете все величины начальные, в последнем — конечные. Отсюда вытекает правило, которое заключается в том, что число расчетов на единицу больше, чем число факторов в модели. При определении влияния двух факторов делают три расчета, трех факторов – четыре и т. д.

Легко доказать, что метод цепных подстановок является разновидностью дифференциального метода и что при его использовании величина неразложимого остатка (логической ошибки метода дифференцирования) присоединяется к последнему фактору, находящемуся в факторной модели (качественному фактору), что усиливает воздействие данного фактора на результативный показатель.

Например, если результативный показатель у имеет вид функции у=f(a,b)= ab, то его общее изменение (в том числе за счет влияние факторов) за период ∆t = t₁ – t₀ (согласно дифференциальному методу) выражается формулой:

Δу = b₀∆a + a₀Δb + ∆a∆b.

Используя цепные подстановки, получим величины влияния факторов:

Δу_а=у_а – у₀ = a₁ b₀ – a₀ b₀ = b₀ (a₁ – a₀)=b₀∆a (совпадает с дифференциальным методом),

Δу_b=y_b – y_a = a₁b₁ - a₁ b₀ = a₁(b₁ – b₀)=a₁∆b, т.е. a₀Δb + ∆a∆b = a₁Δb.

Таким образом, величина влияния фактора b получена путем присоединения ∆a∆b к Δу_b.

Порядок применения метода цепных подстановок рассмотрим на примере (табл.4.2). Необходимо определить влияние факторов на изменение фондоотдачи основных фондов.

Для определения влияния факторов на фондоотдачу используется исходная факторная модель:

ФО = П:СОФ,

где ФО — фондоотдача основных фондов, коэф;

П — объем продукции, тыс.грн.;

СОФ — средняя стоимость основных фондов за анализируемый период, тыс.грн.

Используя прием расширения исходной факторной системы, можно получить модель, включающую факторы, характеризующие уровень эффективности использования основных фондов:

ФО = П:СОФ = (Фа:СОФ) х (Фд:Фа) х (I:S) х (Тот:Праб) х (Тфакт:Т) х х(П:Тфакт)=У _а х К_д х К_с х К х СПх В_час,

где Фа:СОФ (У _а) – доля активной части основных фондов в общей стоимости основных фондов;

Фа — стоимость активной части основных фондов;

Фд: Фа (К_д) — коэффициент действующего оборудования;

I: S(К_с —коэффициент средней стоимости оборудования;

S — cредняя стоимость оборудования;

Тот: Праб (К) – коэффициент, учитывающий количество станко-смен;

Праб. — количество действующего оборудования;

Тот — количество отработанных станко-смен;

Тфакт: Тот (СП) — средняя продолжительность станко-смен, час.;

П: Тфакт(В_час) — средняя выработка продукции за 1 станко-час, грн.;

Тфакт. — фактически отработанное время, час.

Таблица 4.2

Исходные и расчетные данные для факторного анализа

Показатели	Условные обозначения	Периоды
Базис-ный	отчетный
1. Фондоотдача основных фондов, коэф. 2. Доля активной части основных фондов в общей стоимости ОППФ, коэф. 3. Коэффициент действующего оборудования 4. Коэффициент средней стоимости оборудования   5.Коэффициент, учитывающий количество станко-смен, отработанных единицей действующего оборудования 6.Средняя продолжительность станко-смены, час. 7.Выработка продукции за 1 станко-час работы оборудования, грн.	ФО   Уа     Кд   Кс     К   СП   Вчас	0,419   0,8052     0,9681   __1__   27,3   8,2   59,56	0,416   0,7959     0,9536   __1__   28,56   7,8   64,30

Рассчитаем влияние факторов на изменение фондоотдачи, используя метод цепных подстановок:

ФО₀ = 0,8052 x 0,9681 x 1/24800 х 27,3 х 8.2 х 59,56 = 0,419;

а) первая подстановка —

ФО _Уа = 0,7959 х 0,9681 х 1/24800 х 27,3 х 8.2 х 59,56 = 0,414;

б) вторая подстановка —

ФО _Кд = 0,7959 х 0,9536 х 1/24800 х 27, 3 х 8,2 х 59,56 = 0,408;

в) третья подстановка —

ФО _Кс = 0,7959 х 0,9536 х 1/26143 х 27,3 х 8,2 х 59,56 = 0,387;

г) четвёртая подстановка —

ФО _К = 0,7959 х 0,9536 х 1/26143 х 28,56 х 8,2 х 59,56 = 0,405;

д) пятая подстановка —

ФО_СП = 0,7959 х 0,9536 х 1/26143 х 28,56 х 7,8 х 59,56 = 0,385;

е) шестая подстановка —

ФО _Вчас = ФО ₁ = 0,7959 х 0,9536 х 1/26143 х 28,56 х 7,8 х 64,3 = 0,416.

Общее абсолютное изменение фондоотдачи:

∆ ФО = ФО₁– ФО₀ = 0,416 – 0,419 = - 0,003.

Таким образом, фондоотдача в отчетном периоде по сравнению с базисным снизилась на 0,003пункта, в том числе:

а) за счет снижения доли активной части основных фондов в общей стоимости основных фондов фондоотдача снизилась на:

∆ФО _Уа = 0,414 – 0,419 = - 0,005;

б) за счет снижения коэффициента действующего оборудования фондоотдача снизилась на:

∆ ФО _Кд = 0,408 – 0,414 = -0,006;

в) за счет повышения средней стоимости оборудования фондоотдача снизилась на:

∆ФО _Кс = 0,387 – 0,408 = -0,021;

г) за счет увеличения количества станко-смен, отработанных единицей действующего оборудования фондоотдача увеличилась на:

∆ФО _К = 0,405 – 0,387 = 0,018;

д) за счет уменьшения средней продолжительности станко-смены фондоотдача снизилась:

∆Фо_СП = 0,385 – 0, 405 = -0,02;

е) за счет увеличения средней выработки реализованной продукции на один станко-час работы оборудования фондоотдача увеличилась на:

∆Фо _Вчас = 0,416 – 0,385 = 0,031.

Баланс отклонений:

-0.003=-0.005-0.006-0.021+0.018-0.02+0.031.

Используя метод цепных подстановок, следует придерживаться следующей последовательности расчетов: в первую очередь необходимо учитывать изменение количественных, а затем качественных факторов. Если имеется несколько количественных или качественных факторов, то сначала изменяют величину факторов первого порядка, а затем более низких порядков. Следовательно, применение метода цепных подстановок требует знания взаимосвязи факторов, их соподчиненности, умения правильно их классифицировать и систематизировать.

Метод цепных подстановок имеет недостатки. Во-первых, результаты расчетов зависят от последовательности замены факторов; во-вторых, активная роль в изменении обобщающего показателя часто приписывается влиянию качественных факторов, т.к. в факторных моделях они располагаются последними.

Дата добавления: 2014-12-10