Математична модель портфеля активів

Базовими положеннями моделі Г. Марковіца є те, що норма прибутку (дохідність) інвестицій у цінні папери (надалі – ЦП) – це випадкова величина; інвестор оцінює альтернативні рішення за двома параметрами – сподівана норма прибутку як показник ефективності інвестицій та середньоквадратичне відхилення норми прибутку як показник ступеня ризику; інвестор прагне збільшення ефективності та зменшення ступеня ризику.

Відмітимо, що норма прибутку - це один з основних критеріїв, яким керуються інвестори у процесі прийняття рішення щодо інвестування в цінні папери. Згідно з гіпотезою, що норма прибутку є випадковою величиною, це означає, що вона в кожен момент часу може приймати різні значення з різними ймовірностями. Ці ймовірності залежать від ситуації на ринку ЦП, яка залежить, у свою чергу, від багатьох чинників, зокрема, від загальної економічної ситуації.

Надалі будемо розглядати статичний ПЦП, тобто вважатимемо, що усі його детерміновані (не випадкові) характеристики, а також характеристики ЦП - складових цього портфеля, не будуть (суттєво) змінюватися упродовж досліджуваного періоду. Такий підхід до побудови ПЦП є спрощеним, але він має широке використання.

На практиці, оцінюючи сподівану норму прибутку, зазвичай виходять з припущення, що поведінка ЦП у майбутньому у великій мірі залежить від того, як формувались його норми прибутку у минулому. Це означає, що для статичної (або для близької до неї) моделі ПЦП майбутня норма прибутку може бути наближено визначена за допомогою норм прибутку, що мали місце у минулому.

Позначимо через R_i випадкову величину норми прибуткуЦП і -го виду . Наприклад, для звичайної акції норма прибутку в -му періоді визначається за формулою:

,

де – котирування акції (ЦП -го виду) на моменти та відповідно; - дивіденди, нараховані в -му періоді.

Нехай W_i - обсяг коштів, інвестованих у ЦП -го виду; W – загальний обсяг коштів, інвестованих в ПЦП; х_i = W_i / W, (i = 1, …, N), - частка (питома вага) інвестицій у ЦП i -го виду, залучених до портфеля. Очевидно, що x_i ³0 і при цьому .

Вектор визначає структуру ПЦП (тобто під структурою ПЦПрозуміють співвідношення часток інвестицій у ЦП різних видів). Випадкова величина

задає норму прибутку ПЦП, складеного з N видів ЦП, а детермінована величина

,

сподівану норму прибутку ПЦП, (тут - сподівана норма прибутку ЦП i -го виду).

Оцінка ступеня ризику ПЦП, в моделі Г. Марковіца обчислюється як дисперсія норми прибутку цього портфеля:

= ,

де – коваріація випадкових величин R_i та R_l; – коваріаційна матриця:

.

Коваріацію для випадкових величин R_i та R_l можна обчислити також за формулою

,

де r_{il -} коефіцієнт кореляції між R_i та R_l. Очевидно, що , тобто на основній діагоналі коваріаційної матриці знаходяться оцінки ступеня ризику відповідних ЦП.

Дата добавления: 2014-12-10