Уточнение модели проектируемого объекта 1 страница

Корректировка модели

При корректировке модели могут уточняться существенные параметры, ограничения, показатели исхода операции, связи показателей исхода операции с существенными параметрами. После внесения изменений в модель вновь выполняется оценка чувствительности и адекватности.

Корректировка модели завершается определением и фиксацией области пригодности модели: множество условий, при соблюдении которых точность результатов моделирования находится в допустимых пределах.

Оптимизация модели. Сущность оптимизации моделей состоит в их упрощении при заданном уровне адекватности. Основными показателями, по которым возможна оптимизация модели, выступают время и затраты средств для проведения исследований на ней. В основе оптимизации лежит возможность преобразования моделей из одной формы в другую. Преобразование может выполняться либо с использованием математических методов, либо эвристическим путем.

По результатам корректировки модели делается вывод об адекватности модели заданной цели исследований (верификация модели).

Верификация (доказательство, подтверждение, (лат. verus - истинный и facio - делаю) - подтверждение на основе представления объективных свидетельств того, что установленные требования были выполнены.

Верификация модели состоит в проведении исследования с помощью отладочных и проверочных тестов.

Осуществляется взаимная проверка различными подходами, качественное и количественное исследование моделей, проверка непротиворечивости, сравнение результатов, полученных аналитическими и численными методами, сопоставление с практикой.

В процессе проектирования модель предшествует объекту – не с чем сравнивать.

Один из методов - метод контрольных (тестовых) задач. Он основан на том, что при определенных условиях и в некоторых режимах можно заранее предсказать реакцию проектируемого объекта или рассчитать её вручную. Если модель в этих контрольных точках ведёт себя в соответствии с прогнозом, значит, она правильная.

Метод асимптотического ряда моделей (Е.С. Вентцель) – спор моделей.

Идея метода основана на аксиоме - при бесконечном повышении качества модели она приближается к самому объекту. Следовательно, построив ряд моделей возрастающей точности, мы сможем на основании модельных экспериментов предсказать, какими будут выходные параметры у реального объекта, который ещё предстоит построить в будущем. Здесь используются прогнозирующие способности моделей.

Для простоты будем считать, что проектируемый объект характеризуется одним выходным параметром y_p, значение которого и предстоит спрогнозировать.

Для проектируемого объекта строится ряд моделей возрастающей точности: М1, М2, … Мn,... Все они моделируют один и тот же объект, но делают это с возрастающей степенью точности - чем старше модель, тем выше её качество. Испытания моделей (вычислительные эксперименты) дают ряд значений модельного параметра - y_m1, y_m2, … y_mn, ….

Этот ряд значений y_m1, y_m2, … y_mn, … будет асимптотически приближаться к реальному значению y_p, которое спрогнозировать (определить на графике его величину). После чего можно вычислить точность каждой из построенного ряда моделей.

"Спор" этих моделей заключается в выборе рабочей модели - последняя построенная модель самая точная, но одновременно она и самая сложная, а значит, и самая неэкономичная.

Идея асимптотического ряда моделей

Рабочей моделью должна быть самая простая модель, которая ещё обеспечивает требуемую точность модельных экспериментов e_доп.

Для контроля правильности полученной системы математических соотношений требуется проведение ряда обязательных проверок.

Реализация математической модели в виде программ для ЭВМ

Для моделирования процесса функционирования системы на ЭВМ необходимо преобразовать математическую модель процесса в соответствующий моделирующий алгоритм и реализующую их программу – информационная знаковая модель преобразовывается в компьютерную модель.

Компьютерная модель - математическая модель, выраженная средствами программной среды: компьютерная программа, работающая на отдельном компьютере или множестве взаимодействующих компьютеров (вычислительных узлов), реализующая математическую модель некоторой системы.

Процесс разработки надежного и эффективного программного обеспечения требует применения современных технологий программирования (структурной, абстрактной, объектно-ориентированной, визуальной), развитой библиотеки совместимых программных модулей.

Процесс создания программного обеспечения можно разбить на следующие этапы:

-составление технического задания на разработку пакета программ программного обеспечения;

-проектирование структуры программного комплекса;

-кодирование алгоритма;

-тестирование и отладка;

-эксплуатация и сопровождение.

Техническое задание на разработку программного обеспечения

ТЗ на разработку программного обеспечения оформляется в виде спецификации. Примерная форма спецификации включает семь разделов:

1. Название задачи – дается краткое определение решаемой задачи, название программного комплекса, указывается система программирования для его реализации и требования к аппаратному обеспечению.

2. Описание – подробно излагается математическая постановка задачи, описываются примерная математическая модель для задач вычислительного характера, метод обработки входных данных для задач не вычислительного характера (обработки данных).

3. Управление режимами работы программы – формируются основные требования к способу взаимодействия с программой (интерфейс «пользователь-компьютер»).

4. Входные данные – описываются входные данные, указываются пределы, в которых они могут изменяться, значения, которые они не могут принимать, и т.д.

5. Выходные данные – описываются выходные данные, указывается, в каком виде они должны быть представлены (в числовом, графическом или текстовом), приводятся сведения о точности и объеме выходных данных, способах их хранения и т.д.

6.Ошибки – перечисляются возможные ошибки пользователя при работе с программой (например, ошибки при вводе данных), указываются способы диагностики (т.е. выявление ошибок) при проектировании ПО, способы защиты от этих ошибок, а также реакция пользователя при совершении им ошибочных действий и реакция ПО (компьютера) на эти действия.

7. Тестовые задачи – приводится один или несколько тестовых примеров, на которых в простейших случаях проводится отладка и тестирование программного обеспечения.

Порядок программной реализации с использованием конкретного математического обеспечения отображается схемой программы.

Схема программы представляет собой интерпретацию логической схемы моделирующего алгоритма разработчиком программы на базе конкретного языка. Различие между этими схемами заключается в том, что логическая схема отражает логическую структуру модели процесса функционирования системы, а схема программы – логику компьютерной реализации модели с использованием конкретных программно-технических средств моделирования.

Для начертания перечисленных схем используется набор символов, определяемых ГОСТ «Единая система программной документации. Схемы алгоритмов и программ. Обозначения условные графические».

Обычно схема является наиболее удобной формой представления структуры моделирующих алгоритмов. Однако используются и другие формы, например, граф-схемы, операторные схемы.

Подэтапы, выполняемые при алгоритмизации модели системы и её компьютерной реализации:

1 Построение логической схемы модели в виде некоторой совокупности стандартных блоков. Построение модели системы из таких блоков обеспечивает необходимую гибкость в процессе ее эксплуатации, особенно на стадии компьютерной отладки. При построении блочной модели проводится разбиение процесса функционирования системы на отдельные достаточно автономные подпроцессы. Блоки разделяются на основные и вспомогательные. Каждый основной блок соответствует некоторому реальному подпроцессу, имеющему место в моделируемой системе, вспомогательные блоки не отражают функции моделируемой системы и необходимы для компьютерной реализации, фиксации и обработки результатов моделирования.

2. Получение математических соотношений в виде явных функций. Схема компьютерной модели должна представлять собой полное отражение заложенной в концепции модели и иметь:

- описание всех блоков модели с их наименованиями;

- единую систему обозначений и нумерацию блоков;

- отражение логики модели процесса функционирования системы;

- задание математических соотношений в явном виде.

Таким образом, в общем случае построенная компьютерная модель системы будет иметь комбинированный характер, т.е. отражать аналитико-имитационный подход, когда часть процесса в системе описана аналитически, а другая часть имитируется соответствующими алгоритмами.

3. Проверка достоверности модели системы. От решения этой проблемы зависит степень доверия к результатам, полученным методом моделирования. Проверка модели должна дать ответ на вопрос, насколько логическая схема модели системы и используемые математические соотношения отражают замысел модели. При этом проверяются:

- возможность решения поставленной задачи;

- точность отражения замысла в логической схеме;

- полнота логической схемы модели;

- правильность используемых математических соотношений.

Только после того, как разработчик убеждается путем соответствующей проверки в правильности всех этих положений, можно считать, что имеется логическая схема модели системы, пригодная для дальнейшей работы по реализации модели на ЭВМ.

4. Выбор вычислительных средств для моделирования. Необходимо окончательно решить вопрос о том, какие вычислительные средства целесообразно использовать для реализации модели системы.

5. Составление плана выполнения работ по программированию. Такой план должен помочь при программировании модели, учитывая оценки объёма программы и трудозатраты на её составление.

План должен включать:

- выбор языка (системы) программирования модели;

- указание типа ЭВМ и необходимых для моделирования устройств;

- оценку примерного объёма необходимой памяти;

- ориентировочные затраты машинного времени на моделирование;

- предполагаемые затраты времени на программирование и отладку программы.

6. Построение схемы программы.

Схема программы должна отражать:

- разбиение модели на блоки;

- особенности программирования модели;

- проведение необходимых изменений;

- возможность тестирования программы;

- оценку затрат машинного времени;

- форму представления входных и выходных данных.

7. Проверка достоверности схемы программы. Очевидно, нет смысла продолжать работу по реализации модели, если нет уверенности в том, что в схеме программы, по которой будет вестись дальнейшее программирование, допущены ошибки, которые делают ее неадекватной логической схеме модели, а, следовательно, и неадекватной самому объекту моделирования. При этом проводится проверка соответствия каждой операции, представленной в схеме программы, аналогичной ей операции в логической схеме модели.

8. Проведение программирования модели. Если имеется адекватная схема программы, то программирование представляет собой работу только для программиста, без участия и помощи со стороны разработчика модели. При использовании пакетов прикладных программ моделирования проводится непосредственная генерация рабочих программ для моделирования конкретного объекта.

9. Проверка достоверности программы:

- обратным переводом программы в исходную схему;

- проверкой отдельных частей программы при решении различных тестовых задач;

- объединением всех частей программы и проверкой её в целом на контрольном примере моделирования варианта системы.

Необходимо также проверить оценки затрат машинного времени на моделирование.

10. Составление технической документации. Для завершения этапа компьютерной реализации модели необходимо составить техническую документацию, содержащую:

- логическую схему модели и её описание;

- адекватную схему программы и принятые обозначения;

- полный текст программы;

- перечень входных и выходных величин с пояснениями;

- инструкцию по работе с программой;

- оценку затрат машинного времени на моделирование с указанием требуемых ресурсов ЭВМ.

Таким образом, на этом этапе разрабатывается схема модели системы, проводится её алгоритмизация и программирование с использованием конкретных программно-технических средств вычислительной техники, т.е. строится компьютерная модель, которой предстоит работать для получения необходимых результатов моделирования по оценке характеристик процесса функционирования системы (задача анализа) или для поиска оптимальных структур, алгоритмов и параметров системы (задача синтеза).

4.3 Практическое использование построенной модели и анализ результатов моделирования

Конечная цель моделирования - принятие решения, которое должно быть выработано на основе всестороннего анализа полученных результатов. Этот этап решающий - либо вы продолжаете исследования, либо заканчиваете.

Полученные выводы часто способствуют проведению дополнительной серии экспериментов, а иногда и к изменению модели.

Независимо от области применения созданной модели необходимо проводить качественный и количественный анализ результатов моделирования.

Всесторонний анализ результатов моделирования позволяет:

- обозначить область применения модели;

- проверить обоснованность гипотез, принятых на этапе математической постановки, оценить возможность упрощения модели при сохранении требуемой точности;

- показать, в каком направлении следует развивать модель в дальнейшем.

Результаты моделирования используются для принятия решения о работоспособности системы, для выбора лучшего проектного варианта или для оптимизации системы.

Примеры построения моделей

Математическая реставрация Тунгусского феномена

(Самарский А.А., Михайлов А.П. Математическое моделирование; Идеи. Методы. Примеры. – 2-е изд., испр. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. – 320 с.

Хазен А.М. О возможном и невозможном в науке. – М.: Наука. 1988. – 384 с.)

1. Сбор информации о явлении, выдвижение гипотез.

Наиболее известный пример крупномасштабных столкновений небесного тела с атмосферой земли – Тунгусский феномен, наблюдавшийся 30 июня 1908 г. жителями Восточной Сибири в районе реки Подкаменная Тунгуска. Огромное светящееся космическое тело (угловой размер 0,5° на расстоянии 100 км, т. е. поперечный размер около 800 м) двигалось по небу под некоторым углом к горизонту со скоростью более 1 км/с. Затем оно скрылось за лесом, после чего появилась яркая световая вспышка и многократные акустические волны, разбившие стекла окон в окрестности более 100 км. Свидетели ощущали также заметный тепловой импульс и наблюдали появление теней, вызванных вспышкой. Геофизические и сейсмические станции зарегистрировали обошедшие несколько раз земной шар воздушные и сейсмические волны.

Для объяснения этого явления было выдвинуто около сотни гипотез – столкновение с метеоритом, кометой, инопланетным кораблем, черной дырой.

Проверка причинно-следственных связей.

Последующие экспедиции обнаружили сильные разрушения в тайге (вывал леса) и следы светового повреждения деревьев на площади около 2000 км² вокруг эпицентра события.

Вещественных следов небесного тела найдено не было – гипотезы о метеорите или инопланетном корабле отпадают.

Гипотеза о столкновении с черной дырой отпадает – с обратной стороны Земли не было выхода.

Все эти данные свидетельствуют – над тайгой произошел мощный воздушный взрыв (без образования кратера на поверхности Земли) с энергией не менее 10⁶ т тротилового эквивалента.

Остались две гипотезы: либо редко встречающийся рыхлый каменный метеороид с повышенным содержанием льда, углерода и углеводородов, либо фрагмент ядра кометы – конгломерат кусков льда, газа и пыли. Все эти вещества легко испаряются или сгорают в атмосфере, не оставляя после себя следов. Кометная гипотеза полнее объясняет некоторые свойства явления.

Изучая это явление, можно получить многие важные сведения, относящиеся к астрономии, небесной механике, теории комет.

2. Содержательная постановка задачи исследования явления.

Общая гипотеза не дает ответа на вопрос об основных характеристиках космического тела — массе, скорости, угле падения, энергии, высвободившейся при взрыве, и т. д. Ее опровержение или подтверждение может быть получено лишь путем математического моделирования феномена и сопоставления результатов вычислительных экспериментов с имеющимися наблюдениями оставленных им разрушений.

Эта сложнейшая обратная задача математической реставрации события в общем виде формулируется следующим образом: в момент времени t = 0 в атмосфере на высоте z = z₀ задано движущееся со скоростью n₀ под углом q₀ тело с линейными размерами L₀, плотностью r₀, температурой t₀) теплотой парообразования i₀ и характерной величиной напряжения на разрыв s₀.

Начальное состояние атмосферы можно с хорошей точностью описывать в изотермическом приближении (температура постоянна) с плотностью и давлением, меняющимися с высотой по экспоненциальному закону: r = r₀ ехр(-z/H₀), р = р⁰ ехр(-z/H₀), где H₀ – некоторая нормировочная постоянная.

3. Математическая постановка задачи.

В основу математического описания явления кладутся нестационарные уравнения Навье—Стокса для сжимаемого вязкого теплопроводного газа, рассматриваемые в пространственно трехмерной геометрии.

Поскольку явление характеризуется высокими температурами и наличием излучения, то гидродинамические уравнения дополняются также трехмерным уравнением переноса излучения.

Эти уравнения должны решаться совместно при различных наборах перечисленных выше параметров, варьируемых в достаточно широких диапазонах.

Для получения решения необходимо задать свойства среды – коэффициенты вязкости, теплопроводности, поглощения света, уравнения состояния и т. д.

В итоге задача содержит более десяти параметров, определяющих решение (применение методов подобия – позволяет снизить их число и несколько упростить анализ результатов). Численная реализация описанных моделей осуществлялась с помощью соответствующих конечно-разностных схем.

4. Анализ результатов.

Схематически течение событий, полученное из вычислительного эксперимента, изображено на рисунке (в данном случае q₀ = 35°, тело представляет собой полусферическую переднюю часть радиуса 70 м с примыкающим к ней цилиндром толщины 140 м). Штрихпунктирной линией обозначена траектория тела, сплошными – порождаемые его движением ударные волны в последовательные моменты времени.

В моменты t₁, t₂ ударная волна баллистическая, аналогичная той, что появляется вокруг летящего со сверхзвуковой скоростью предмета, например истребителя.

В момент t₃, соответствующий высоте тела z = 7 км, конфигурация ударной волны усложняется. К этому времени происходит сильное торможение и нагрев тела, в результате которого его вещество начинает взрывным образом расширяться, образуя сфероподобную сильную ударную волну. Дальнейшая динамика процесса, в том числе и характер разрушений, определяется обеими волнами. Они примерно одновременно (момент t₄) приходят к поверхности Земли (это справедливо лишь для правой, лежащей под траекторией части поверхности) и отражаются от нее. Так как траектория наклонна, то картина не может быть симметричной относительно центра сферической ударной волны, принимаемой за эпицентр взрыва.

Действительно, распространяющаяся против часовой стрелки верхняя часть баллистической ударной волны должна пройти до поверхности Земли, находящейся слева от эпицентра, большее расстояние, чем ее нижняя часть. Поэтому она не только достигает поверхности позже, но является также более слабой и производит менее значительные разрушения.

5. Проверка адекватности модели – сравнение с натурным экспериментом.

Оценка пригодности модели проводится сравнением откликов проверенной модели с соответствующими откликами или изменениями, снятыми с реальной системы.

Вывод о несимметричности разрушений (на почти ровной поверхности тайги в месте катастрофы) совпадает с натурными измерениями.

На рисунке показаны результаты обработки характеристик вывала леса в районе падения; круговые линии отвечают равным значениям силы разрушающих факторов, радиальные – направлению поваленных деревьев. Картина заметно несимметрична, она имеет форму «бабочки», а не концентрических кругов, которые получились бы при вертикальном падении тела или при точечном взрыве космического аппарата с малой массой, не образующего из-за этого сильной баллистической ударной волны (высказывались гипотезы об искусственном происхождении Тунгусского тела).

На рисунке изображены аналогичные данные вычислительного эксперимента (стрелками обозначено направление движения воздуха по поверхности, штриховые линии отвечают положению фронта ударной волны, цифры около них – моменты времени в секундах), совпадающие не только качественно, но, при соответствующем подборе параметров тела, и количественно с последствиями феномена.

Относительно независимый способ проверки правильности выбора начальных характеристик тела дает моделирование действия излученного им теплового импульса (степени ожога деревьев). Сопоставление приведено на рисунке. Точки обозначают данные натурных наблюдений: 1—слабый ожог, 2—умеренный, 3— сильный (обугливание). Сплошная линия отвечает полученной из расчетов величине излучения I = 16 кал/см² в течение 2 с, необходимой для возгорания деревьев. Она практически точно совпадает с реальной границей зоны ожога.

6. Анализ результатов.

Воспроизведение на основе математического моделирования Тунгусского феномена приводит к следующим вполне убедительным главным выводам, совокупность которых не может быть получена другими методами: тело общей массой 10⁵ т вторглось в атмосферу под углом 35° со скоростью около 40 км/с, разрушилось, резко затормозилось на высоте ~ 6,5 км, ударные волны разрушили лесной массив, а излучение от нагретых до 10-12 • 10³ К остатков тела произвело ожоги и воспламенение деревьев, мощность взрыва составляла примерно 15 Мт.

Прогноз климатических изменений

(парниковый эффект, последствия ядерного конфликта).

(Самарский А.А., Михайлов А.П. Математическое моделирование; Идеи. Методы. Примеры. – 2-е изд., испр. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. – 320 с.)

Возможные цели математического моделирования:

- выявление наиболее существенных факторов, формирующих свойства системы и ее поведение, выявления закономерностей, прогноз развития систем;

- прогнозирование состояния системы под действием различных факторов в различных ситуациях при недопустимости широкомасштабных экспериментов (с ядерной войной, экономикой страны, здоровьем населения, средой обитания, здоровьем человека).

1. Содержательная постановка задачи

Актуальность задачи. Достаточно точный долговременный прогноз погоды и изменений климата (вызванных в первую очередь антропогенными причинами) крайне необходимы для осмысленного планирования экономической, технологической, экологической и других видов активности человечества как в региональном, так и в глобальном масштабах. Оптимальное размещение индустриальных центров, приоритетное использование тех или иных видов сырьевых и энергетических ресурсов, предпочтительный выбор конкурирующих технологий, правильные акценты в агропромышленной политике – все эти проблемы находятся в тесной взаимозависимости с состоянием атмосферы, Мирового океана и поверхности Земли.

2. Концептуальная постановка. Построение математической модели.

Протекающие геофизические процессы очень разнообразны и сложны. Они включают в себя гидродинамические движения атмосферного воздуха и вод морей и океанов, тепло- и массообмен в системе «океан—атмосфера», поглощение, рассеяние и отражение солнечного излучения (разного в разные времена года), сезонные изменения подстилающей поверхности и многие другие явления. Их сложность связана также с неоднородностью земной поверхности и внешней нестационарностью – вращением земного шара вокруг собственной оси и вокруг Солнца.

Погодные и климатические явления отличаются сильной разномасштабностью во времени и в пространстве. Например, скорость ветра у данной точки поверхности Земли может во много раз отличаться от скоростей ветра на высотах над этой точкой. Кроме того, атмосферные и океанические потоки сильно турбулентны, т. е. характеризующие их величины испытывают хаотические флюктуации, масштаб которых достигает сотен километров. Все упомянутые процессы существенно нелинейны и их отклик на изменение каких-либо параметров труднопредсказуем.

Поэтому прогноз погоды не может быть дан с достаточной гарантией. Этому препятствуют не столько ограниченность возможностей вычислительной техники, с помощью которой рассчитываются геометеополя, или отсутствие нужного числа данных, замеряемых стационарными и подвижными станциями, сколько принципиальные причины, связанные с масштабом и сложностью объекта.

Основным средством анализа и прогноза данных объектов служит вычислительный эксперимент с их математическими моделями.

Некоторые проблемы математического моделирования этих явлений облегчаются, если речь идет о долгосрочных изменениях погоды (месяцы) и климата (годы, десятилетия). Значения средних величин на достаточно длинном промежутке времени в меньшей степени зависят от мелкомасштабных пульсаций и неустойчивостей.

Структура модели. Климатические модели системы «атмосфера—океан» состоят из ряда взаимосвязанных блоков: трехмерные нестационарные уравнения движения сжимаемой и несжимаемой жидкости с учетом вязкости и теплопроводности, уравнения переноса излучения в атмосфере и т. д. Они решаются совместно при заданном начальном состоянии системы (в том числе состоянии подстилающей поверхности) и известной динамике солнечной радиации и других внешних факторов.

3. Проведение вычислительного эксперимента.

1. Оценка адекватности моделей.

Адекватность моделей определяется путем сопоставления их результатов с имеющимися надежными данными натурных наблюдений.

На рисунке дано сопоставление «калибровочных» вычислительных экспериментов по одной из наиболее полных моделей климата с данными наблюдений. Измеряемая величина (n) – средняя за год скорость ветра (в м/с) для всевозможных широт на высоте, отвечающей давлениям 400 мбар и 800 мбар (кривые 1 и 2). Штриховые линии – результаты наблюдений. Расчеты проводились на установление: задавались типичные для данного времени года внешние воздействия и счет велся до выхода процесса на квазистационарный режим, соответствующий выбранному месяцу, после чего величины осреднялись по времени и по пространству. Соответствие результатов вычислительных экспериментов и наблюдений оказалось вполне удовлетворительным для столь сложного объекта, особенно в зоне экватора (пассатные ветры).

Прогноз долгосрочных климатических изменений.

Прогноз «парникового эффекта».

Большое количество CO₂ (окиси углерода) антропогенного происхождения выбрасывается в воздух и, препятствуя выходу собственного излучения Земли в космос, способствует увеличению средней температуры атмосферы. Это в свою очередь может привести к интенсивному таянию льдов, повышению уровня Мирового Океана и другим негативным глобальным последствиям.

Анализ результатов вычислительного эксперимента.

В таблице приведены некоторые данные математического моделирования системы «атмосфера—океан» при различных концентрациях СО₂ в воздухе. Первый столбец отвечает современной концентрации, второй и третий – соответственно удвоенному и учетверенному содержанию СО₂.

Средняя температура атмосферы, °С	-19,2	-17,54	-17,0
Температура воздуха у подстилающей поверхности, °С	13,9	15,3	15,8
Температура подстилающей поверхности, °С	12,5	13,6	14,3
Поток коротковолновой радиации на подстилающую поверхность, Вт/м^2	255,3	254,3	254,8
Осадки, мм/сут	2,04	2,15	2,17

Вычислительный эксперимент для этих двух гипотетических ситуаций проводился до установления нового, отличного от нынешнего квазиравновесия в системе с последующим осреднением результатов.

Дата добавления: 2014-11-29