Рациональные функции и их разложение в сумму простых дробей

9.3.1. Определение рациональных функций и простых дробей. Рациональной функцией называется отношение двух многочленов

.

Здесь и дальше мы снова будем работать только с действительной переменной , коэффициенты обоих многочленов - действительные числа, , . Рациональная функция (дробь) называется правильной, если ; если , рациональная дробь называется неправильной. Любая неправильная дробь может быть представлена в виде сумма многочлена степени и правильной дроби: , ; нахождение целой части и остатка может быть выполнено, например, с помощью процедуры деления "уголком". В дальнейшем будем предполагать, что - правильная дробь.

Простыми дробями называются рациональные функции следующих четырёх типов:

I. ;	II. ;
III. ;	IV. .

9.3.2. Теорема о разложении правильной рациональной функции в сумму простых дробей. Пусть знаменатель правильной рациональной дроби представлен, согласно утверждению 6 пункта 9.2.3, в виде , . Тогда дробь единственным (с точностью до порядка слагаемых) образом может быть представлена как суммы простых дробей следующей структуры

.

Проиллюстрируем представление неправильной дроби в виде суммы многочлена и правильной дроби, и разложение правильной дроби на простые на примере. Дана функция . Здесь , . После деления "уголком" получим . Согласно теореме, получившаяся правильная дробь должна представляться в виде

, (*) где - неизвестные пока коэффициенты ("неопределённые коэффициенты"). Приводим сумму в правой части равенства (*) к общему знаменателю:

= . Дроби в правой и левой частях этого равенства равны, так как их знаменатели совпадают, должны быть равны и числители:

Неопределённые коэффициенты находятся из этого равенства. Так, подставив в него значение , получим . Если подставить в это равенство корни трёхчлена , будут определены и . Такой приём нахождения неопределённых коэффициентов называют способом частных значений. Другой метод заключается в том, что раскрываются скобки в правой части равенства и приравниваются коэффициенты при одинаковых степенях :

.

Коэффициенты при степенях справа и слева от знака равенства:

Эту систему можно решать любым из известных способов. Воспользуемся правилом Крамера.

; ; ;

; ; ; ;

; ; ;

. Окончательно, функция представляется в виде . В заключение отметим, что при решении задач целесообразно комбинировать методы частных значений и сравнения коэффициентов при степенях , т.е. исключать коэффициенты, найденные по частным значениям, из системы уравнений.

Дата добавления: 2014-12-16