Прогноз змін рівня й витрат ґрунтових вод за допомогою кінцево-різницевих рівнянь

Найпростішою формою системи неявних лінійних (лінеаризированих) рівнянь для прогнозу коливань рівня ґрунтових вод, одержуваної з (1), є випадок θ=1/2 при узятті всіх рівнів, за виключенням початкових, на середину проміжку часу Δt (П. А. Кисельов, 1961). У цьому випадку для перетинів 0,1,2,..,n, де перетини 0 и n граничні, маємо наступну систему неявних n-1 рівнянь із n-1 невідомими відмітками рівня Н₁ Н₂,..., Н_n-1 (або потужностями h₁,h₂…. h_n-1 ) на середину проміжку часу Δt:

H₁-H’₁=a(H₀-2H₁+H₂)+b, (8)

H₂-H’₂=a(H₁-2H₂+H₃)+b, (9)

H₃-H’₃=a(H₂-2H₃+H₄)+b, (10)

……………………………

H_n-1-H’_n-1=a(H_n-₂-2H_n-1+H_n)+b, (11)

де H₁’, H₂’, H₃’,..., H_n-1’ — відомі оцінки рівня (або потужності водоносного шару) у перетинах 0, 1, 2, 3,..., п -1 на початок проміжку часу Δt, a та b— параметри:

а= , b =

Для рішення системи рівнянь (8)—(11) повинні бути відомі початкове положення кривої депресії (у початковий момент часу, тобто при t=0), параметри a и b і відмітки рівнів (потужності) Н_о й Н_п у граничних перетинах як функції часу t.

Розв’язок (8) — (11) з n-1 невідомими може бути зроблено звичайним шляхом виключення невідомих, за допомогою застосування матриць, „методом прогонів", а також шляхом послідовних наближень.

В останньому випадку, задаючись величиною Н₁ у рівнянні (8), знаходимо з нього Н₂, оскільки інші величини відомі; далі з (9) знаходимо Н₃; потім аналогічно визначаємо величини Н₄, Н₅,...,Н_n. При правильному завданні Н_х обчислена Н_n „ повинна збігатися зі спостереженою величиною Н_n у n перетині. При розбіжності розрахунки повторюють із іншими заданими значеннями H₁доти, поки не буде досягнутий цей збіг. У такий спосіб одержують криву депресії на середину проміжку часу Δt. Рівні на кінець Δt можуть бути знайдені по формулі

Н_n, _t+1 = 2Н_п,t+1/2-Н_n,t(12)

Обчисливши тим або іншим шляхом криву депресії на кінець першого проміжку часу Δtрозраховують її положення для наступних Δt.

При відносно невеликій кількості розрахункових перетині обчислення робимо ручним способом, при більшій їхній кількості - за допомогою електронних рахункових машин.

В окремому випадку при прогнозах коливань рівня ґрунтових вод величина А може бути взята рівній одиниці шляхом відповідного підбору величин Δx та Δt, і система рівнянні (8) — (11) приймає вид:

H₂=3H₁-(H₀+H’₁)=b

H₃=3H₂-(H₁+H’₂)=b (13)

……………………

H_n=3H_n-1-(H_n-2+H’_n-1)=b

Розвязок (13) виконується тими ж методами, що й рішення системи рівнянь (8)—(11).

Дата добавления: 2014-12-16