Тензор соединения

Тензор как группа преобразований с инвариантом

Основным свойством всякого тензора по Г.Крону является то, что с помощью группы матриц преобразования можно найти, по определенным правилам, его составляющие в любой системе координат. Если группа преобразований не существует, различные n -матрицы не могут быть преобразованы одна в другую, они не зависимы одна от другой и, следовательно, не являются проекциями одной величины. Таким образом, совокупность n -матриц образует 0-валентный тензор, если эти матрицы могут быть преобразованы одна в другую с помощью группы матриц преобразования. «Одновалентный тензор», представляемый во всякой системе координат 1-матрицей, называется «вектором». «0-валентный тензор» (например, мощность) называется «скаляром». Тензоры преобразуются с помощью стольких преобразований, какова его валентность. Выражение «n -валентный тензор» возникло именно в связи с этим свойством тензора привлекать к себе различное число матриц преобразования. Многие авторы предпочитают, однако, название «тензор n -го ранга». Часто говорят, что тензор — это матрица с определенным правилом преобразования. Тензор — это геометрическое представление величины, а его проекции являются n -матрицами. Тензор находится в таком же отношении к матрице, как вектор обычного векторного анализа к проекциям его на оси координат. Основание к определению рассматриваемых в тексте величин как тензоров — это сохранение инвариантности при всех преобразованиях мощности. Возникает естественный вопрос: «Зачем вводятся тензоры?». Если известно, что матрицы некоторой системы представляют собой тензоры, то автоматически следует, что все уравнения, выраженные с их помощью, будут одни и те же для этой системы и для группы аналогичных систем. Что же следует из идентичности записанных в тензорной форме уравнений большого числа различных систем? Способствует ли это упрощению анализа разнообразных систем реального мира? Да, способствует. И именно это упрощение положено в основу метода тензорного анализа.

1. 1. Поскольку уравнения большого числа аналогичных систем, выраженные в тензорной форме, одинаковы, следует подробно анализировать только одно из них. Поэтому выбирайте одну систему, анализ которой прост; найдите все тензоры этой системы («элементарную» систему) и составьте искомое уравнение в тензорной форме.

2. 2. Для определения тензоров любой конкретной системы реального мира нужно только найти частную матрицу преобразования, отличающую данную систему от элементарной системы.

3. 3. Раз группа преобразования найдена, тензоры данной системы получаются с помощью стандартных правил преобразования.

4. 4. Когда составляющие тензоров данной системы найдены, искомое уравнение поведения системы составляется как копия уравнения элементарной системы. Можно конечно проделать все указанные выше операции, не упоминая слово «тензор», и говорить лишь о «матрице старой системы», «матрице новой системы», «матрице преобразования», о «правиле преобразования» и т.п. Тем не менее, признается это или не признается, при этом используются понятия тензорного анализа. Матрицам не присущи правила преобразования. Они присущи тензорам.

Остается невыясненным важный вопрос, что подразумевается под «аналогичными системами», поведение которых описывается одинаковыми уравнениями? Другими словами, какие системы имеют общий тензор? Этот вопрос приводит к понятию группы. Упомянутая выше задача упрощенного составления уравнений представляет собой только один из многих примеров, иллюстрирующих методологию тензорного анализа. Поскольку приборами измеряются величины, а не математические символы, вопрос о соответствии символов уравнения измеряемым величинам лежит в основе всех наук. Символ «тензор» — наиболее близок к «измеряемой величине». Общий критерий, позволяющий судить о том, содержит ли уравнение измеряемые величины, сформулирован в одном из основных принципов физики (так называемом принципе относительности), согласно которому все законы природы выражаются в тензорных уравнениях, т.е. уравнениях, каждый символ которых является тензором.

Правило преобразования вектора находится на основании следующего представления: при переходе от одной системы координат к другой мощность остается неизменной или «инвариантной». Этим соотношением устанавливается общность между величинами в различных системах координат.

Особое место среди тензоров занимает ТЕНЗОР СОЕДИНЕНИЯ или ТЕНЗОР ПРЕОБРАЗОВАНИЯ. Этот тензор является посредником МЕЖДУ ДВУМЯ СИСТЕМАМИ КООРДИНАТ. Любой ученый знает, что системы координат, как явления реального мира, в природе нет: системы координат, искусственно вводит исследователь в качестве идеального конструкта, когда желает описать явление реальности математически. Таким образом оказывается, что тензор соединения представляет собою соединение ДВУХ ТОЧЕК ЗРЕНИЯ на ОДИН И ТОТ ЖЕ НЕИЗМЕННЫЙ ОБЪЕКТ РЕАЛЬНОГО МИРА. Точки зрения на объекты реального мира всегда принадлежат отдельным людям, каждый из которых может выбирать СВОЮ точку зрения. Более того, нахождение тензора преобразования, который связывает две точки зрения на один и тот же объект реальности, свидетельствуют о том, что ДВА исследователя ДОСТИГЛИ ВЗАИМОПОНИМАНИЯ. Является ли взаимопонимание двух исследователей ФАКТОМ объективной РЕАЛЬНОСТИ? Изучение тензорного анализа позволяет положительно ответить на этот вопрос. Ни один из ученых не сомневается в том, что обладает мышлением. Но как записать СОБСТВЕННЫЕ МЫСЛИ НАУЧНЫМ ЯЗЫКОМ? Это не праздный вопрос. Необходимо отличать НАШИ МЫСЛИ об объективной реальности, которые еще далеко не адекватны ей, от самой объективной реальности вне нашего сознания. Оказывается, что понятиям в индивидуальном мышлении человека и соответствуют ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ. Эту же мысль можно выразить иначе, каждому ПОНЯТИЮ в индивидуальном мышлении соответствует ГРУППА ПРЕОБРАЗОВАНИЙ. Проблема конструирования, процесс формирования понятий и есть процесс формирования ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ. Тензорный анализ и создавался как инструмент описания закономерностей реального мира, позволяющий отличать объективную реальность от случайности точки зрения, зависящей от выбора той или иной системы координат. Эта субъективность точки зрения и демонстрируется ТЕНЗОРОМ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ, как ПОНЯТИЕМ. Однако этим не исчерпывается содержание этого понятия. Группа преобразований Г.Крона позволяет говорить о движении в геометрическом смысле как о преобразовании координат с инвариантом. Для того, чтобы лучше уяснить идеи группы преобразований Г.Крона рассмотрим пример. Возьмем какой-нибудь предмет, например, кирпич. Указывая координаты вершин этого кирпича, мы можем записать положение этого кирпича в пространстве. Принимая множество координатных систем, отличающихся друг от друга положением начала координат, углами, под которыми расположены оси координат, используя криволинейные системы координат, — мы получим различные формы записи ОДНОГО И ТОГО ЖЕ КИРПИЧА. Запишем выражение ОБЪЕМА этого кирпича во всех системах координат. Очевидно, что вид ФОРМУЛЫ, выражающей объем одного и того же кирпича, будет зависеть от выбранной нами системы координат. Вся совокупность формул, выражающих объем, может рассматриваться как совокупность высказываний об одном и том же объекте, но сделанных с использованием РАЗЛИЧНЫХ ЯЗЫКОВ. Если соединить все эти формулы, выражающие объем одного и того же кирпича, знаком РАВЕНСТВА, то мы получим ПРАВИЛО, которое позволяет опознать один и тот же объект, но записанный РАЗЛИЧНЫМИ ЯЗЫКАМИ. Математический знак равенства в нашем примере означает, что есть один и тот же объект, но описанный в различных системах координат.

Рассматривая обобщенное ДВИЖЕНИЕ, как группу преобразований с ИНВАРИАНТОМ той или иной ВЕЛИЧИНЫ, мы можем рассматривать ВСЕ СИСТЕМЫ, СОЗДАННЫЕ ЧЕЛОВЕКОМ, как группы с теми же инвариантами.

Это утверждение оказывается чрезвычайно продуктивным при конструировании различных машин. Если Земля «идеальная» машина, то нельзя ли различные машины и механизмы считать различными системами координат, в которых представлена одна и та же машина? Нельзя ли переход от одной конструкции к другой конструкции рассматривать как преобразование координат?

Положительный ответ на два эти вопроса и составляет «душу» тензорной методологии. Подробнее эти вопросы рассмотрены в главе «Физика» и приложении «Как работает Пространство—Время?».

Внимательный читатель, конечно, обратил внимание на удивительное родство двух систем:

1) идеальной обобщенной машины и

2) системы Человечество (Человек)—Природа (рассмотрению которой посвящены ряд глав нашей работы).

В обоих случаях инвариантом выступает мощность.

И это неудивительно только в одном случае, если понять, что Земля является жестко управляемой Космической машиной и всё на ней подчиняется определенным законам Космоса (Природы). Имеющиеся экспериментальные данные новейших космических наблюдений физических полей Земли рассмотрены в приложении.

Дата добавления: 2014-11-29