Вычисление длин дуг плоских кривых

НАВЧАЛЬНО-МЕТОДИЧНЕ ВИДАННЯ

Конспект лекцій з дисципліни “Вступ у спеціальність” для студентів напряму підготовки 6.030509 “Облік і аудит” денної ізаочної форм навчання. Луцьк: - ЛНТУ, 2012.- 96 ст.

Комп’ютерний набір та верстка: Шолом Л.О.

Редактор: О. Гордіюк

Підписано до друку 21.05.12 р. Формат 60x84/16

Папір офсетний. Друк цифровий.

Гарнітура Таймс. Ум. друк. арк. 1,5.

Тираж 50. Зам. № 4548.

Редакційно-видавничий відділ

Луцького національного технічного університету

43018, м. Луцьк, вул. Львівська, 75.

Друк – РВВ ЛНТУ

П усть дана плоская кривая (рис. 10.1), уравнение которой , , где — непрерывно дифференцируемая функция на отрезке . Разобьем отрезок точками , на частей равной длины. Через точки деления проведем прямые, параллельные оси ординат . Точки пересечения этих прямых с кривой обозначим через . Соединив эти точки хордами, получим ломаную , вписанную в кривую . Пусть периметр этой ломаной равен . Длиной дуги будем называть число , равное пределу последовательности периметров :

Выведем формулу для вычисления длины дуги. Для этого сначала найдем периметр ломаной . Точка с координатами и и точка с координатами и являются концами го звена ломаной. Длину го звена вычислим по формуле расстояния между двумя точками плоскости:

. (10.3)

Учитывая, что – непрерывная дифференцируемая функция на отрезке ,по формуле Лагранжа имеем

, (10.4)
где — некоторая точка интервала . Подставив выражение (10.4) в формулу (10.3), получим:

, (10.5)
где . Значит, периметр ломаной равен следующей сумме:

.

Получили интегральную сумму для непрерывной функции на отрезке . Так как предел этой суммы при n → ∞ существует, то согласно определению находим

.

Таким образом,

Дата добавления: 2014-12-16